2 в 18 степени - 5 в 6 степени доказать что делится на 13

Давайте рассмотрим выражение \( 2^{18} - 5^{6} \) и проверим, делится ли оно на 13. Мы можем использовать теорему Ферма, которая утверждает, что если \( p \) — простое число, то для любого целого числа \( a \) выполняется следующее:

\[ a^{p-1} \equiv 1 \mod p \]

Для числа 13, \( p = 13 \), и \( p-1 = 12 \). Мы можем рассмотреть \( 2^{18} \) и \( 5^{6} \) по модулю 13.

Сначала найдём \( 2^{18} \mod 13 \):

1. Вычислим \( 2^{12} \mod 13 \) по теореме Ферма: \[ 2^{12} \equiv 1 \mod 13 \]
2. Теперь мы можем записать \( 2^{18} \) как: \[ 2^{18} = 2^{12} \cdot 2^6 \equiv 1 \cdot 2^6 \mod 13 \]
3. Теперь вычислим \( 2^6 \mod 13 \): \[ 2^6 = 64 \] \[ 64 \mod 13 = 12 \] Таким образом, \( 2^{18} \equiv 12 \mod 13 \).

Теперь найдём \( 5^{6} \mod 13 \):

1. Сначала вычислим \( 5^{12} \mod 13 \): \[ 5^{12} \equiv 1 \mod 13 \]
2. Теперь вычислим \( 5^{6} \mod 13 \): \[ 5^6 = 15625 \] Вычислим \( 5^6 \mod 13 \) (можно использовать степенной метод):
   • \( 5^1 \equiv 5 \)
   • \( 5^2 \equiv 25 \mod 13 = 12 \)
   • \( 5^3 \equiv 5 \cdot 12 = 60 \mod 13 = 8 \)
   • \( 5^4 \equiv 5 \cdot 8 = 40 \mod 13 = 1 \)
   • \( 5^5 \equiv 5 \cdot 1 = 5 \)
   • \( 5^6 \equiv 5 \cdot 5 = 25 \mod 13 = 12 \)

Таким образом, \( 5^6 \equiv 12 \mod 13 \).

Теперь мы можем найти \( 2^{18} - 5^6 \mod 13 \): \[ 2^{18} - 5^6 \equiv 12 - 12 \equiv 0 \mod 13 \]

Это означает, что \( 2^{18} - 5^6 \) действительно делится на 13. Таким образом, мы доказали, что \( 2^{18} - 5^{6} \equiv 0 \mod 13 \).