Выбери формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 15 испытаний Бернулли».
Чтобы решить задачу о вероятности наступления 4 успехов в серии из 15 испытаний Бернулли, нам нужна формула для вычисления вероятности определённого числа успехов в последовательности независимых экспериментов, где каждый эксперимент имеет два возможных исхода: успех или неудача.
Формула
В данном случае мы используем биномиальное распределение. Формула вероятности \( P(X = k) \) для \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит так:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который выражает количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний.
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании.
- \( (1-p) \) — вероятность неудачи в одном испытании.
- \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае \( n = 15 \)).
- \( k \) — число успехов (в нашем случае \( k = 4 \)).
Пошаговое решение
Определяем параметры:
- \( n = 15 \) (всего испытаний)
- \( k = 4 \) (наши успехи)
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (если не указана, нужно указать).
Находим биномиальный коэффициент: \[ \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} \] Вычисляем:
- \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11! \)
- \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
Теперь подставим значения: \[ \binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32760}{24} = 1365 \]
Подставляем в формулу: Теперь, если мы знаем значение \( p \), мы можем подставить его в формулу. Пусть, например, вероятность успеха \( p = 0.5 \). Тогда вероятность неудачи \( 1 - p = 0.5 \).
Полная вероятность наступления 4 успехов будет: \[ P(X = 4) = \binom{15}{4} (0.5)^4 (0.5)^{15-4} = 1365 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{11} = 1365 \times (0.5)^{15} \]
Рассчитаем это значение: \[ (0.5)^{15} = \frac{1}{32768} \] Подставляем: \[ P(X = 4) = 1365 \times \frac{1}{32768} \approx 0.0416 \]
Таким образом, вероятность того, что в 15 испытаниях произойдёт ровно 4 успеха, если вероятность успеха в одном испытании равна 0.5, составляет примерно 0.0416 или 4.16%.
Если значение \( p \) другое, подставьте его в формулу, следуя такому же принципу.
