Выбери формулу вероятности события «наступило 4 успеха в серии из 15 испытаний Бернулли».

Чтобы решить задачу о вероятности наступления 4 успехов в серии из 15 испытаний Бернулли, нам нужна формула для вычисления вероятности определённого числа успехов в последовательности независимых экспериментов, где каждый эксперимент имеет два возможных исхода: успех или неудача. ### Формула В данном случае мы используем биномиальное распределение. Формула вероятности \( P(X = k) \) для \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит так: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] где: - \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который выражает количество способов выбрать \( k \) успехов из \( n \) испытаний. - \( p \) — вероятность успеха в одном испытании. - \( (1-p) \) — вероятность неудачи в одном испытании. - \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае \( n = 15 \)). - \( k \) — число успехов (в нашем случае \( k = 4 \)). ### Пошаговое решение 1. **Определяем параметры**: - \( n = 15 \) (всего испытаний) - \( k = 4 \) (наши успехи) - \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (если не указана, нужно указать). 2. **Находим биномиальный коэффициент**: \[ \binom{15}{4} = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4! \cdot 11!} \] Вычисляем: - \( 15! = 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11! \) - \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \) Теперь подставим значения: \[ \binom{15}{4} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{32760}{24} = 1365 \] 3. **Подставляем в формулу**: Теперь, если мы знаем значение \( p \), мы можем подставить его в формулу. Пусть, например, вероятность успеха \( p = 0.5 \). Тогда вероятность неудачи \( 1 - p = 0.5 \). Полная вероятность наступления 4 успехов будет: \[ P(X = 4) = \binom{15}{4} (0.5)^4 (0.5)^{15-4} = 1365 \times (0.5)^4 \times (0.5)^{11} = 1365 \times (0.5)^{15} \] Рассчитаем это значение: \[ (0.5)^{15} = \frac{1}{32768} \] Подставляем: \[ P(X = 4) = 1365 \times \frac{1}{32768} \approx 0.0416 \] Таким образом, вероятность того, что в 15 испытаниях произойдёт ровно 4 успеха, если вероятность успеха в одном испытании равна 0.5, составляет примерно 0.0416 или 4.16%. Если значение \( p \) другое, подставьте его в формулу, следуя такому же принципу.