Чтобы определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ( f(x) = x^2 ), прямой ( y = 0 ) (ось абсцисс), и вертикальными прямыми ( x = 4 ) и ( x = 9 ), нам нужно выполнить несколько шагов.
Шаг 1. Определение площади под графиком функции
Площадь, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и вертикальными линиями, может быть найдена с помощью интеграла. Площадь ( S ) можно вычислить по следующей формуле:
[
S = \int_{a}^{b} f(x) , dx
]
где ( a ) и ( b ) - это границы интегрирования (в нашем случае ( a = 4 ) и ( b = 9 )).
Шаг 2. Подставим функцию
Подставляем в формулу нашу функцию ( f(x) = x^2 ):
[
S = \int_{4}^{9} x^2 , dx
]
Шаг 3. Вычисление интеграла
Теперь вычислим интеграл:
[
\int x^2 , dx = \frac{x^3}{3} + C
]
Теперь подставим границы интегрирования:
[
S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{4}^{9} = \frac{9^3}{3} - \frac{4^3}{3}
]
Сначала вычислим ( 9^3 ) и ( 4^3 ):
[
9^3 = 729, \quad 4^3 = 64
]
Теперь подставим эти значения:
[
S = \frac{729}{3} - \frac{64}{3} = \frac{729 - 64}{3} = \frac{665}{3}
]
Шаг 4. Результат
Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции ( f(x) = x^2 ), осью ( y = 0 ), и вертикальными линиями ( x = 4 ) и ( x = 9 ) равна:
[
S = \frac{665}{3} \approx 221.67
]
Итог
Площадь данной криволинейной трапеции составляет примерно ( 221.67 ) квадратных единиц.
