Определи площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции f от x = x², прямыми Y = 0, x = 4 и x = 9

Чтобы определить площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), прямой \( y = 0 \) (ось абсцисс), и вертикальными прямыми \( x = 4 \) и \( x = 9 \), нам нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1. Определение площади под графиком функции

Площадь, ограниченная графиком функции, осью абсцисс и вертикальными линиями, может быть найдена с помощью интеграла. Площадь \( S \) можно вычислить по следующей формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

где \( a \) и \( b \) - это границы интегрирования (в нашем случае \( a = 4 \) и \( b = 9 \)).

Шаг 2. Подставим функцию

Подставляем в формулу нашу функцию \( f(x) = x^2 \):

\[ S = \int_{4}^{9} x^2 \, dx \]

Шаг 3. Вычисление интеграла

Теперь вычислим интеграл:

\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C \]

Теперь подставим границы интегрирования:

\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{4}^{9} = \frac{9^3}{3} - \frac{4^3}{3} \]

Сначала вычислим \( 9^3 \) и \( 4^3 \):

\[ 9^3 = 729, \quad 4^3 = 64 \]

Теперь подставим эти значения:

\[ S = \frac{729}{3} - \frac{64}{3} = \frac{729 - 64}{3} = \frac{665}{3} \]

Шаг 4. Результат

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( f(x) = x^2 \), осью \( y = 0 \), и вертикальными линиями \( x = 4 \) и \( x = 9 \) равна:

\[ S = \frac{665}{3} \approx 221.67 \]

Итог

Площадь данной криволинейной трапеции составляет примерно \( 221.67 \) квадратных единиц.