Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y = x² - 2X - 2, y = 2X + 4 - x²

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 - 2x - 2\) и \(y = 2x + 4 - x^2\), следуем следующему алгоритму: ### Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых Для начала приравняем функции друг к другу: \[ x^2 - 2x - 2 = 2x + 4 - x^2 \] Приведем уравнение к стандартному виду: \[ x^2 + x^2 - 2x - 2x - 2 - 4 = 0 \] \[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \] Теперь упростим это уравнение, поделив на 2: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] ### Шаг 2: Найдем корни уравнения Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \] Теперь находим два корня: \[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \] ### Шаг 3: Найдем площадь фигуры Площадь ограниченной фигуры можно найти, вычисляя интеграл разности верхней функции и нижней. Сначала определим, какая функция выше в заданном интервале \([-1, 3]\). 1. Для \(x = 0\): - \(y_1 = 0^2 - 2 \cdot 0 - 2 = -2\) - \(y_2 = 2 \cdot 0 + 4 - 0^2 = 4\) Таким образом, на отрезке от \(-1\) до \(3\) линия \(y = 2x + 4 - x^2\) выше: \[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{3} \left((2x + 4 - x^2) - (x^2 - 2x - 2)\right) dx \] Упрощаем подынтегральное выражение: \[ = \int_{-1}^{3} \left(2x + 4 - x^2 - x^2 + 2x + 2\right) dx \] \[ = \int_{-1}^{3} \left(-2x^2 + 4x + 6\right) dx \] ### Шаг 4: Вычислим интеграл Теперь рассчитываем интеграл: \[ = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x \right]_{-1}^{3} \] Сначала подставим верхний предел: \[ \left[-\frac{2}{3}(3)^3 + 2(3)^2 + 6(3) \right] = \left[-18 + 18 + 18 \right] = 18 \] Теперь подставим нижний предел: \[ \left[-\frac{2}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 6(-1) \right] = \left[\frac{2}{3} + 2 - 6\right] = \left[\frac{2}{3} + \frac{6}{3} - \frac{18}{3}\right] = \left[-\frac{10}{3}\right] \] Теперь вычтем результаты: \[ 18 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54}{3} + \frac{10}{3} = \frac{64}{3} \] ### Ответ Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна \[ \frac{64}{3} \text{ единиц квадратных.} \]