Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y = x² - 2X - 2, y = 2X + 4 - x²
Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^2 - 2x - 2\) и \(y = 2x + 4 - x^2\), следуем следующему алгоритму:
Шаг 1: Найдем точки пересечения кривых
Для начала приравняем функции друг к другу:
\[ x^2 - 2x - 2 = 2x + 4 - x^2 \]
Приведем уравнение к стандартному виду:
\[ x^2 + x^2 - 2x - 2x - 2 - 4 = 0 \]
\[ 2x^2 - 4x - 6 = 0 \]
Теперь упростим это уравнение, поделив на 2:
\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]
Шаг 2: Найдем корни уравнения
Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -3\):
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 4}{2} \]
Теперь находим два корня:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Шаг 3: Найдем площадь фигуры
Площадь ограниченной фигуры можно найти, вычисляя интеграл разности верхней функции и нижней. Сначала определим, какая функция выше в заданном интервале \([-1, 3]\).
- Для \(x = 0\):
- \(y_1 = 0^2 - 2 \cdot 0 - 2 = -2\)
- \(y_2 = 2 \cdot 0 + 4 - 0^2 = 4\)
Таким образом, на отрезке от \(-1\) до \(3\) линия \(y = 2x + 4 - x^2\) выше:
\[ \text{Площадь} = \int_{-1}^{3} \left((2x + 4 - x^2) - (x^2 - 2x - 2)\right) dx \]
Упрощаем подынтегральное выражение:
\[ = \int_{-1}^{3} \left(2x + 4 - x^2 - x^2 + 2x + 2\right) dx \]
\[ = \int_{-1}^{3} \left(-2x^2 + 4x + 6\right) dx \]
Шаг 4: Вычислим интеграл
Теперь рассчитываем интеграл:
\[ = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 6x \right]_{-1}^{3} \]
Сначала подставим верхний предел:
\[ \left[-\frac{2}{3}(3)^3 + 2(3)^2 + 6(3) \right] = \left[-18 + 18 + 18 \right] = 18 \]
Теперь подставим нижний предел:
\[ \left[-\frac{2}{3}(-1)^3 + 2(-1)^2 + 6(-1) \right] = \left[\frac{2}{3} + 2 - 6\right] = \left[\frac{2}{3} + \frac{6}{3} - \frac{18}{3}\right] = \left[-\frac{10}{3}\right] \]
Теперь вычтем результаты:
\[ 18 - \left(-\frac{10}{3}\right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{54}{3} + \frac{10}{3} = \frac{64}{3} \]
Ответ
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми, равна
\[ \frac{64}{3} \text{ единиц квадратных.} \]
