Реши

Даны: \(\triangle ABC\), \(AB = 7.2\) см, \(\angle B = 60^\circ\), \(\angle C = 45^\circ\). Требуется найти \(AC\).

1. Найдём \(\angle A\):

   В треугольнике сумма углов равна \(180^\circ\).

   \[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

2. Используем теорему синусов:

   Теорема синусов для треугольника:

   \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

   Здесь \(a = BC\), \(b = AC\), \(c = AB = 7.2\).

   Нам нужно найти \(b = AC\). Используем часть теоремы:

   \[ \frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{7.2}{\sin 75^\circ} \]

3. Найдём необходимые синусы:

   \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

   \(\sin 75^\circ = \sin(90^\circ - 15^\circ) = \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

4. Подставим значения и найдём \(AC\):

   \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7.2}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

   Упростим это выражение:

   \[ AC = \frac{7.2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

   \[ AC = \frac{28.8 \cdot \sqrt{2}}{2(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]

   Упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на сопряженное \(\sqrt{6} - \sqrt{2}\):

   \[ AC = \frac{28.8 \cdot \sqrt{2} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2((\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2}))} \]

   После вычислений получаем:

   \[ AC \approx 5.1 \]

   Ответ: \(AC \approx 5.1\) см.