2. Разложите на множители выражение a) 3x ^ 3 + x ^ 2 + 3x + 1 6) 2x+2y-x²- xy; в) cb-ab-ca+b²; ww r) a²b-2b+ab²-2a.
Давайте разложим каждое из предложенных выражений на множители, объясняя каждый шаг.
Задача 2a. Разложите на множители выражение \(3x^3 + x^2 + 3x + 1\).
Группировка членов: Начнем с группировки членов так, чтобы мы могли вынести общий множитель. \[ (3x^3 + 3x) + (x^2 + 1) \]
Вынесение общего множителя: В первой скобке можно вынести \(3x\): \[ 3x(x^2 + 1) + (x^2 + 1) \]
Общий множитель: Теперь можно заметить, что \(x^2 + 1\) присутствует в обеих частях. Вынесем его: \[ (3x + 1)(x^2 + 1) \]
Таким образом, выражение \(3x^3 + x^2 + 3x + 1\) раскладывается на множители как: \[ (3x + 1)(x^2 + 1) \]
Задача 2b. Разложите на множители выражение \(2x + 2y - x^2 - xy\).
Группировка: Начнем с группировки членов: \[ -x^2 - xy + 2x + 2y \] Поменяем порядок для удобства: \[ -(x^2 + xy) + 2(x + y) \]
Вынесение общего множителя: В первой части выражения можно вынести \(-x\): \[ -x(x + y) + 2(x + y) \]
Общий множитель: Теперь заметим, что \(x + y\) присутствует в обеих частях. Вынесем его: \[ (2 - x)(x + y) \]
Таким образом, выражение \(2x + 2y - x^2 - xy\) раскладывается на множители как: \[ (2 - x)(x + y) \]
Задача 2в. Разложите на множители выражение \(cb - ab - ca + b^2\).
Группировка: Группируем по-другому: \[ (cb - ab) + (b^2 - ca) \]
Вынесение общего множителя: В первой части можно вынести \(b\): \[ b(c - a) + (b^2 - ca) \] Во второй части можно заметить, что \(b^2 - ca = (b - c)(b + c)\), но лучше продолжим с \(b\). Оставим как есть, пока не соберем все.
Сначала упростим вторую скобку: Перегруппируем и используем тот факт: \[ b(c - a) + (b^2 - c a) = b(c - a) + ((b - c)(b + c)) \]
В итоге рассматриваем так: \[ b(c - a) + c(b - a) \]
Общий множитель: Теперь видно: \[ (b - a)(b + c) \]
Таким образом, выражение \(cb - ab - ca + b^2\) раскладывается на множители как: \[ (b - a)(b + c) \]
Задача 2г. Разложите на множители выражение \(a^2b - 2b + ab^2 - 2a\).
Группировка: Сначала сгруппируем по парам: \[ (a^2b + ab^2) + (-2b - 2a) \]
Вынесение общего множителя: В первой части можно вынести \(ab\): \[ ab(a + b) - 2(b + a) \]
Общий множитель: Вынесем общий множитель \( (b + a)\): \[ (b + a)(ab - 2) \]
Таким образом, выражение \(a^2b - 2b + ab^2 - 2a\) раскладывается на множители как: \[ (a + b)(ab - 2) \]
Если у вас есть дополнительные вопросы по другим задачам или темам, пожалуйста, дайте знать!
