составьте уравнение плоскости проходящей через точку b и перпендикулярной прямой bc если b (3; -2; 4) а C (-2 ;8 ;19)

Для того чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданной прямой, нужно выполнить следующие шаги.

Шаг 1. Найти направление вектора прямой

Прямая \( bc \) задается двумя точками: \( b(3, -2, 4) \) и \( c(-2, 8, 19) \). Чтобы найти вектор направления прямой, нужно вычесть координаты точки \( b \) из координат точки \( c \):

\[ \overrightarrow{bc} = c - b = (-2 - 3, 8 - (-2), 19 - 4) = (-5, 10, 15). \]

Таким образом, вектор направления \( \overrightarrow{bc} \) равен \( (-5, 10, 15) \).

Шаг 2. Составить уравнение плоскости

Есть формула уравнения плоскости, которая имеет нормальный вектор, заданный координатами \( (A, B, C) \) (в нашем случае это координаты вектора \( \overrightarrow{bc} \)), и точку, через которую проходит плоскость \( (x_0, y_0, z_0) \):

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0. \]

Подставляем наш вектор \( \overrightarrow{bc} = (-5, 10, 15) \) и точку \( b(3, -2, 4) \):

• \( A = -5 \)
• \( B = 10 \)
• \( C = 15 \)
• \( (x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 4) \)

Теперь подставим эти значения в уравнение плоскости:

\[ -5(x - 3) + 10(y + 2) + 15(z - 4) = 0. \]

Шаг 3. Упростить уравнение плоскости

Раскроем скобки и упростим:

\[ -5x + 15 + 10y + 20 + 15z - 60 = 0. \]

Соберем все термины:

\[ -5x + 10y + 15z - 25 = 0. \]

Шаг 4. Записать уравнение в стандартной форме

Чтобы получить стандартную форму уравнения плоскости, можно привести всё в одну сторону:

\[ -5x + 10y + 15z = 25. \]

Или же можно выразить \( z \): \[ 15z = 5x - 10y + 25 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{5x - 10y + 25}{15}. \]

Заключение

Уравнение плоскости, проходящей через точку \( b(3, -2, 4) \) и перпендикулярной прямой \( bc \), имеет вид:

\[ -5x + 10y + 15z = 25. \]

Таким образом, мы получили уравнение плоскости при помощи направления вектора и заданной точки.