Для того чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и перпендикулярной заданной прямой, нужно выполнить следующие шаги.
Шаг 1. Найти направление вектора прямой
Прямая ( bc ) задается двумя точками: ( b(3, -2, 4) ) и ( c(-2, 8, 19) ). Чтобы найти вектор направления прямой, нужно вычесть координаты точки ( b ) из координат точки ( c ):
[
\overrightarrow{bc} = c - b = (-2 - 3, 8 - (-2), 19 - 4) = (-5, 10, 15).
]
Таким образом, вектор направления ( \overrightarrow{bc} ) равен ( (-5, 10, 15) ).
Шаг 2. Составить уравнение плоскости
Есть формула уравнения плоскости, которая имеет нормальный вектор, заданный координатами ( (A, B, C) ) (в нашем случае это координаты вектора ( \overrightarrow{bc} )), и точку, через которую проходит плоскость ( (x_0, y_0, z_0) ):
[
A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0.
]
Подставляем наш вектор ( \overrightarrow{bc} = (-5, 10, 15) ) и точку ( b(3, -2, 4) ):
- ( A = -5 )
- ( B = 10 )
- ( C = 15 )
- ( (x_0, y_0, z_0) = (3, -2, 4) )
Теперь подставим эти значения в уравнение плоскости:
[
-5(x - 3) + 10(y + 2) + 15(z - 4) = 0.
]
Шаг 3. Упростить уравнение плоскости
Раскроем скобки и упростим:
[
-5x + 15 + 10y + 20 + 15z - 60 = 0.
]
Соберем все термины:
[
-5x + 10y + 15z - 25 = 0.
]
Шаг 4. Записать уравнение в стандартной форме
Чтобы получить стандартную форму уравнения плоскости, можно привести всё в одну сторону:
[
-5x + 10y + 15z = 25.
]
Или же можно выразить ( z ):
[
15z = 5x - 10y + 25 \quad \Rightarrow \quad z = \frac{5x - 10y + 25}{15}.
]
Заключение
Уравнение плоскости, проходящей через точку ( b(3, -2, 4) ) и перпендикулярной прямой ( bc ), имеет вид:
[
-5x + 10y + 15z = 25.
]
Таким образом, мы получили уравнение плоскости при помощи направления вектора и заданной точки.
