Какова вероятность того, что получится ровно два успеха при 5 испытаниях Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.3
Чтобы решить задачу о вероятности ровно двух успехов при 5 испытаниях Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3, мы будем использовать формулу для биномиального распределения.
Биномиальное распределение
Формула для вычисления вероятности получения \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит следующим образом:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
где:
\( P(X = k) \) — вероятность получить \( k \) успехов;
\( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]
\( p \) — вероятность успеха в одном испытании;
\( n \) — общее количество испытаний;
\( k \) — количество успехов.
Задача
В нашей задаче:
- \( n = 5 \) (количество испытаний),
- \( k = 2 \) (количество успехов),
- \( p = 0,3 \) (вероятность успеха).
Пошаговое решение
Вычисление биномиального коэффициента \( C(5, 2) \):
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} \] Мы можем упростить факториалы:
\[ 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3! \implies C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]
Вычисление \( p^k \):
\[ p^k = 0,3^2 = 0,09 \]
Вычисление \( (1 - p)^{n - k} \):
\[ 1 - p = 1 - 0,3 = 0,7 \] Следовательно:
\[ (1 - p)^{n - k} = 0,7^{5 - 2} = 0,7^3 = 0,343 \]
Подстановка всех значений в формулу:
Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для вероятности:
\[ P(X = 2) = C(5, 2) \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{5 - 2} \]
\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0,09 \cdot 0,343 \]
\[ P(X = 2) = 10 \cdot 0,03087 = 0,3087 \]
Ответ
Вероятность получения ровно двух успехов при 5 испытаниях с вероятностью успеха 0,3 равна 0,3087, или 30,87%.
