Какова вероятность того, что получится ровно два успеха при 5 испытаниях Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании равна 0.3
Чтобы решить задачу о вероятности ровно двух успехов при 5 испытаниях Бернулли, где вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3, мы будем использовать формулу для биномиального распределения.
### Биномиальное распределение
Формула для вычисления вероятности получения \( k \) успехов в \( n \) испытаниях выглядит следующим образом:
\[
P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
\]
где:
- \( P(X = k) \) — вероятность получить \( k \) успехов;
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:
\[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
\]
- \( p \) — вероятность успеха в одном испытании;
- \( n \) — общее количество испытаний;
- \( k \) — количество успехов.
### Задача
В нашей задаче:
- \( n = 5 \) (количество испытаний),
- \( k = 2 \) (количество успехов),
- \( p = 0,3 \) (вероятность успеха).
### Пошаговое решение
1. **Вычисление биномиального коэффициента \( C(5, 2) \)**:
\[
C(5, 2) = \frac{5!}{2! \cdot (5 - 2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}
\]
Мы можем упростить факториалы:
\[
5! = 5 \cdot 4 \cdot 3! \implies C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
\]
2. **Вычисление \( p^k \)**:
\[
p^k = 0,3^2 = 0,09
\]
3. **Вычисление \( (1 - p)^{n - k} \)**:
\[
1 - p = 1 - 0,3 = 0,7
\]
Следовательно:
\[
(1 - p)^{n - k} = 0,7^{5 - 2} = 0,7^3 = 0,343
\]
4. **Подстановка всех значений в формулу**:
Теперь подставим все вычисленные значения в формулу для вероятности:
\[
P(X = 2) = C(5, 2) \cdot p^2 \cdot (1 - p)^{5 - 2}
\]
\[
P(X = 2) = 10 \cdot 0,09 \cdot 0,343
\]
\[
P(X = 2) = 10 \cdot 0,03087 = 0,3087
\]
### Ответ
Вероятность получения ровно двух успехов при 5 испытаниях с вероятностью успеха 0,3 равна **0,3087**, или **30,87%**.
