в классе из 20 учеников 12 мальчиков и 8 девочек если пять учеников случайно выбрано для участия в конкурсе Какова вероятность того что среди них будет ровно Три мальчика и две…

Чтобы решить задачу о вероятности, давайте воспользуемся комбинаторикой и формулой для расчета вероятности.

Шаг 1: Определим общее количество учеников и их распределение

В классе 20 учеников:

• 12 мальчиков
• 8 девочек

Шаг 2: Установим условия

Необходимо найти вероятность того, что при случайном выборе 5 учеников в группе будет ровно 3 мальчика и 2 девочки.

Шаг 3: Используем формулу для вероятности

Вероятность события можно вычислить по формуле:

\[ P(E) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} \]

Шаг 4: Найдем общее количество способов выбрать 5 учеников

Общее количество способов выбрать 5 учеников из 20 можно выразить с помощью биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \(n\) — общее количество учеников, \(k\) — количество выбираемых учеников. В нашем случае:

\[ C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = 15504 \]

Шаг 5: Найдем количество способов выбрать 3 мальчиков и 2 девочек

Теперь посчитаем, сколько способов можно выбрать 3 мальчиков из 12 и 2 девочки из 8.

Количество способов выбрать 3 мальчиков из 12:

\[ C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220 \]

Количество способов выбрать 2 девочки из 8:

\[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = 28 \]

Шаг 6: Найдем общее количество благоприятных исходов

Общее количество способов выбрать 3 мальчика и 2 девочки:

\[ \text{Благоприятные исходы} = C(12, 3) \cdot C(8, 2) = 220 \cdot 28 = 6160 \]

Шаг 7: Найдем вероятность события

Теперь подставим все найденные значения в формулу вероятности:

\[ P(E) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6160}{15504} \]

Шаг 8: Упростим дробь

Чтобы упростить дробь, можно найти наибольший общий делитель (НОД):

\[ P(E) \approx 0,397 (около 39,7\%) \]

Ответ

Таким образом, вероятность того, что среди 5 случайно выбранных учеников будет ровно 3 мальчика и 2 девочки, составляет примерно 0,397 или 39,7%.