Чтобы решить задачу о вероятности, давайте воспользуемся комбинаторикой и формулой для расчета вероятности.
Шаг 1: Определим общее количество учеников и их распределение
В классе 20 учеников:
Шаг 2: Установим условия
Необходимо найти вероятность того, что при случайном выборе 5 учеников в группе будет ровно 3 мальчика и 2 девочки.
Шаг 3: Используем формулу для вероятности
Вероятность события можно вычислить по формуле:
[
P(E) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}
]
Шаг 4: Найдем общее количество способов выбрать 5 учеников
Общее количество способов выбрать 5 учеников из 20 можно выразить с помощью биномиального коэффициента:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
Где (n) — общее количество учеников, (k) — количество выбираемых учеников. В нашем случае:
[
C(20, 5) = \frac{20!}{5!(20-5)!} = \frac{20!}{5! \cdot 15!} = 15504
]
Шаг 5: Найдем количество способов выбрать 3 мальчиков и 2 девочек
Теперь посчитаем, сколько способов можно выбрать 3 мальчиков из 12 и 2 девочки из 8.
Количество способов выбрать 3 мальчиков из 12:
[
C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \cdot 9!} = 220
]
Количество способов выбрать 2 девочки из 8:
[
C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = 28
]
Шаг 6: Найдем общее количество благоприятных исходов
Общее количество способов выбрать 3 мальчика и 2 девочки:
[
\text{Благоприятные исходы} = C(12, 3) \cdot C(8, 2) = 220 \cdot 28 = 6160
]
Шаг 7: Найдем вероятность события
Теперь подставим все найденные значения в формулу вероятности:
[
P(E) = \frac{\text{Благоприятные исходы}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{6160}{15504}
]
Шаг 8: Упростим дробь
Чтобы упростить дробь, можно найти наибольший общий делитель (НОД):
[
P(E) \approx 0,397 (около 39,7%)
]
Ответ
Таким образом, вероятность того, что среди 5 случайно выбранных учеников будет ровно 3 мальчика и 2 девочки, составляет примерно 0,397 или 39,7%.
