решите тремя способами

Чтобы решить систему уравнений с двумя переменными тремя способами, рассмотрим следующую систему:

\( \begin{cases} 5x - y = 7 \\ 3x + 2y = -1 \end{cases} \)

1. Графический способ

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики обоих уравнений и найти точку пересечения.

• Первое уравнение: \(5x - y = 7\)

  Выразим \(y\) через \(x\): \[ y = 5x - 7 \]

• Второе уравнение: \(3x + 2y = -1\)

  Выразим \(y\) через \(x\): \[ 2y = -3x - 1 \implies y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2} \]

Теперь построим графики двух прямых на координатной плоскости и найдём точку пересечения:

1. Первая прямая: \(y = 5x - 7\)

   • Точка 1: \(x = 0\), тогда \(y = -7\) => (0, -7)
   • Точка 2: \(x = 1\), тогда \(y = -2\) => (1, -2)

2. Вторая прямая: \(y = -\frac{3}{2}x - \frac{1}{2}\)

   • Точка 1: \(x = 0\), тогда \(y = -\frac{1}{2}\) => (0, -\(\frac{1}{2}\))
   • Точка 2: \(x = 2\), тогда \(y = -3.5\) => (2, -3.5)

Точка пересечения графиков — это решение системы уравнений.

2. Метод подстановки

Используем первое уравнение для выражения одной переменной через другую и подставим в другое уравнение.

1. Выразим \(y\) из первого уравнения: \[ y = 5x - 7 \]

2. Подставим \(y\) во второе уравнение: \[ 3x + 2(5x - 7) = -1 \] \[ 3x + 10x - 14 = -1 \] \[ 13x = 13 \] \[ x = 1 \]

3. Подставим \(x = 1\) в выражение для \(y\): \[ y = 5(1) - 7 = -2 \]

Решение системы: \(x = 1\), \(y = -2\).

3. Метод сложения

Сложим или вычтем уравнения так, чтобы исключить одну из переменных.

1. Умножим первое уравнение на 2: \[ 2(5x - y) = 2(7) \] \[ 10x - 2y = 14 \]

2. Оставим второе уравнение без изменений: \[ 3x + 2y = -1 \]

3. Складываем эти уравнения: \[ (10x - 2y) + (3x + 2y) = 14 + (-1) \] \[ 13x = 13 \] \[ x = 1 \]

4. Подставляем \(x = 1\) в первое уравнение: \[ 5(1) - y = 7 \] \[ 5 - y = 7 \] \[ y = -2 \]

Решение системы остаётся тем же: \(x = 1\), \(y = -2\).