Давайте сначала решим задачу 42, а затем перейдём к задаче 43.
Задача 42
У нас есть правильная четырёхугольная пирамида SABCD, у которой:
- Боковое ребро SC = 29
- Сторона основания ABCD = 21√2
Шаг 1: Найдём высоту пирамиды.
Для начала определим радиус описанной окружности основания ABCD. Поскольку ABCD — квадрат со стороной ( a = 21\sqrt{2} ), радиус ( R ) описанной окружности рассчитывается по формуле:
[
R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{21\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{21 \cdot 2}{2} = 21
]
Шаг 2: Найдём высоту (h) пирамиды.
Теперь, используя теорему Пифагора, можем найти высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике ( SCD ) (где ( SC ) — боковое ребро, ( CD ) — половина стороны квадрата ABCD, и ( h ) — высота пирамиды) имеем:
- ( SC^2 = h^2 + (R)^2 )
- ( 29^2 = h^2 + 21^2 )
Подставим значения:
[
841 = h^2 + 441
]
[
h^2 = 841 - 441 = 400
]
[
h = \sqrt{400} = 20
]
Шаг 3: Рассчитаем объём (V) пирамиды.
Объём пирамиды рассчитывается по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основание} \cdot h
]
Теперь найдем площадь основания, которое является квадратом со стороной ( 21\sqrt{2} ):
[
S_{основание} = (21\sqrt{2})^2 = 441 \cdot 2 = 882
]
Теперь можем найти объём:
[
V = \frac{1}{3} \cdot 882 \cdot 20
]
[
V = \frac{17640}{3} = 5880
]
Таким образом, объём пирамиды SABCD составляет 5880 кубических единиц.
Задача 43
Здесь мы знаем, что объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E — середина ребра SB.
Шаг 1: Определим объём треугольной пирамиды EABC.
Объём треугольной пирамиды EABC будет равен половине объёма пирамиды SABCD, так как точка E делит высоту из S на две равные части. Поскольку E — середина ребра SB, высота из E до основания ABC останется прежней.
Объём треугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу:
[
V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot V_{SABCD}
]
[
V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66
]
Таким образом, объём треугольной пирамиды EABC составляет 66 кубических единиц.
Итог:
- Объём пирамиды SABCD (задача 42) = 5880
- Объём пирамиды EABC (задача 43) = 66
