42. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC равно 29, сторона основания равна 21 корень из 2. Найдите объём пирамиды. 43. Объём правильной…

Давайте сначала решим задачу 42, а затем перейдём к задаче 43.

Задача 42

У нас есть правильная четырёхугольная пирамида SABCD, у которой:

• Боковое ребро SC = 29
• Сторона основания ABCD = 21√2

Шаг 1: Найдём высоту пирамиды.

Для начала определим радиус описанной окружности основания ABCD. Поскольку ABCD — квадрат со стороной \( a = 21\sqrt{2} \), радиус \( R \) описанной окружности рассчитывается по формуле: \[ R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{21\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{21 \cdot 2}{2} = 21 \]

Шаг 2: Найдём высоту (h) пирамиды.

Теперь, используя теорему Пифагора, можем найти высоту пирамиды. В прямоугольном треугольнике \( SCD \) (где \( SC \) — боковое ребро, \( CD \) — половина стороны квадрата ABCD, и \( h \) — высота пирамиды) имеем:

• \( SC^2 = h^2 + (R)^2 \)
• \( 29^2 = h^2 + 21^2 \)

Подставим значения: \[ 841 = h^2 + 441 \] \[ h^2 = 841 - 441 = 400 \] \[ h = \sqrt{400} = 20 \]

Шаг 3: Рассчитаем объём (V) пирамиды.

Объём пирамиды рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{основание} \cdot h \]

Теперь найдем площадь основания, которое является квадратом со стороной \( 21\sqrt{2} \): \[ S_{основание} = (21\sqrt{2})^2 = 441 \cdot 2 = 882 \]

Теперь можем найти объём: \[ V = \frac{1}{3} \cdot 882 \cdot 20 \] \[ V = \frac{17640}{3} = 5880 \]

Таким образом, объём пирамиды SABCD составляет 5880 кубических единиц.

Задача 43

Здесь мы знаем, что объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E — середина ребра SB.

Шаг 1: Определим объём треугольной пирамиды EABC.

Объём треугольной пирамиды EABC будет равен половине объёма пирамиды SABCD, так как точка E делит высоту из S на две равные части. Поскольку E — середина ребра SB, высота из E до основания ABC останется прежней.

Объём треугольной пирамиды можно найти, используя следующую формулу: \[ V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot V_{SABCD} \] \[ V_{EABC} = \frac{1}{2} \cdot 132 = 66 \]

Таким образом, объём треугольной пирамиды EABC составляет 66 кубических единиц.

Итог:

• Объём пирамиды SABCD (задача 42) = 5880
• Объём пирамиды EABC (задача 43) = 66