. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увели- чится на 2 см. Найдите катеты треугольника

Для решения задачи о прямоугольном треугольнике воспользуемся теоремой Пифагора, а также рассмотрим условия задачи по шагам.

Дано:

• Гипотенуза \(c = 13\) см.
• Один из катетов, пусть это будет \(a\), после увеличения на \(4\) см приводит к увеличению гипотенузы на \(2\) см, то есть нова гипотенуза \(c' = 15\) см.

Необходимые шаги:

1. Запишем уравнение по теореме Пифагора для исходного треугольника: \[ a^2 + b^2 = c^2 \] Подставим значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 13^2 \] \[ a^2 + b^2 = 169 \quad (1) \]

2. Запишем уравнение для нового треугольника после увеличения катета \(a\) на \(4\) см: При увеличении катета \(a\) на \(4\) см новый катет будет \(a + 4\), и новая гипотенуза \(c' = 15\) см: \[ (a + 4)^2 + b^2 = (15)^2 \] \[ (a + 4)^2 + b^2 = 225 \quad (2) \]

3. Решим уравнение (2): Раскроем скобки: \[ a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225 \] Подставим \(b^2\) из уравнения (1): \[ a^2 + 8a + 16 + (169 - a^2) = 225 \] Упростим: \[ 8a + 185 = 225 \] Отнимем \(185\) от обеих сторон: \[ 8a = 40 \] Разделим на \(8\): \[ a = 5 \quad (3) \]

4. Теперь найдем \(b\) используя (1): Подставляем значение \(a\) в (1): \[ (5)^2 + b^2 = 169 \] \[ 25 + b^2 = 169 \] Отнимем \(25\) от обеих сторон: \[ b^2 = 144 \] Извлечем квадратный корень: \[ b = 12 \quad (4) \]

Ответ:

Катеты треугольника: \(a = 5\) см и \(b = 12\) см.

Таким образом, мы нашли катеты прямоугольного треугольника, где один катет равен \(5\) см, а другой — \(12\) см.