Для решения этой задачи мы можем использовать основные формулы, связанные с колебательным контуром, катушкой индуктивности и конденсатором.
Шаг 1: Определим связь между длиной волны и частотой.
Длина волны (\lambda) и частота (f) связаны между собой следующей формулой:
[
\lambda = \frac{v}{f}
]
где (v) — скорость света в вакууме, примерно равная (3 \times 10^8) м/с.
Шаг 2: Найдем частоту для обеих длин волн.
Для первой длины волны (\lambda_1 = 250) м:
[
f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{3 \times 10^8 \ \text{м/с}}{250 \ \text{м}} = 1.2 \times 10^6 \ \text{Гц} (или 1.2 МГц)
]
Для второй длины волны (\lambda_2 = 200) м:
[
f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^8 \ \text{м/с}}{200 \ \text{м}} = 1.5 \times 10^6 \ \text{Гц} (или 1.5 МГц)
]
Шаг 3: Используем формулу для определения ёмкости конденсатора.
Для колебательного контура, частота (f) определяется также через индуктивность (L) и ёмкость (C) как:
[
f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}
]
Зная, что (C) определяется через площадь (S) и расстояние между пластинами (d) как:
[
C = \frac{\epsilon_0 S}{d}
]
где (\epsilon_0) — электрическая постоянная, (S) — площадь пластин.
Шаг 4: Установим соотношение между ёмкостью и расстоянием.
Если мы будем считать, что площадь (S) остается постоянной, тогда можно переписать частоту в зависимости от расстояния (d):
[
f \propto \frac{1}{\sqrt{d}}
]
Шаг 5: Сравним два случая.
Для двух случаев мы можем записать:
[
\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}}
]
где (d_1 = 8) мм (или 0.008 м) — расстояние для (\lambda_1), и (d_2) — искомое расстояние для (\lambda_2).
Теперь подставим известные значения частот:
[
\frac{1.2 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = \sqrt{\frac{d_2}{0.008}}
]
Шаг 6: Найдем (d_2).
Решим это уравнение:
[
\frac{1.2}{1.5} = \sqrt{\frac{d_2}{0.008}}
]
Квадрат обеих сторон:
[
\left( \frac{1.2}{1.5} \right)^2 = \frac{d_2}{0.008}
]
Вычислим:
[
\frac{1.44}{2.25} = \frac{d_2}{0.008} \Rightarrow \frac{d_2}{0.008} \approx 0.64
]
Теперь перемножим:
[
d_2 \approx 0.64 \times 0.008 \approx 0.00512 \ \text{м} = 5.12 \ \text{мм}
]
Ответ:
Чтобы настроить колебательный контур на длину волны 200 м, расстояние между пластинами конденсатора должно составлять примерно 5.12 мм.
