Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора настроен на длину волны 250 м. При этом расстояние между пластинами конденсатора 8 мм. Каким…

Для решения этой задачи мы можем использовать основные формулы, связанные с колебательным контуром, катушкой индуктивности и конденсатором.

Шаг 1: Определим связь между длиной волны и частотой.

Длина волны \(\lambda\) и частота \(f\) связаны между собой следующей формулой: \[ \lambda = \frac{v}{f} \] где \(v\) — скорость света в вакууме, примерно равная \(3 \times 10^8\) м/с.

Шаг 2: Найдем частоту для обеих длин волн.

Для первой длины волны \(\lambda_1 = 250\) м: \[ f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{3 \times 10^8 \ \text{м/с}}{250 \ \text{м}} = 1.2 \times 10^6 \ \text{Гц} (или 1.2 МГц) \]

Для второй длины волны \(\lambda_2 = 200\) м: \[ f_2 = \frac{v}{\lambda_2} = \frac{3 \times 10^8 \ \text{м/с}}{200 \ \text{м}} = 1.5 \times 10^6 \ \text{Гц} (или 1.5 МГц) \]

Шаг 3: Используем формулу для определения ёмкости конденсатора.

Для колебательного контура, частота \(f\) определяется также через индуктивность \(L\) и ёмкость \(C\) как: \[ f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Зная, что \(C\) определяется через площадь \(S\) и расстояние между пластинами \(d\) как: \[ C = \frac{\epsilon_0 S}{d} \] где \(\epsilon_0\) — электрическая постоянная, \(S\) — площадь пластин.

Шаг 4: Установим соотношение между ёмкостью и расстоянием.

Если мы будем считать, что площадь \(S\) остается постоянной, тогда можно переписать частоту в зависимости от расстояния \(d\): \[ f \propto \frac{1}{\sqrt{d}} \]

Шаг 5: Сравним два случая.

Для двух случаев мы можем записать: \[ \frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{d_2}{d_1}} \] где \(d_1 = 8\) мм (или 0.008 м) — расстояние для \(\lambda_1\), и \(d_2\) — искомое расстояние для \(\lambda_2\).

Теперь подставим известные значения частот: \[ \frac{1.2 \times 10^6}{1.5 \times 10^6} = \sqrt{\frac{d_2}{0.008}} \]

Шаг 6: Найдем \(d_2\).

Решим это уравнение: \[ \frac{1.2}{1.5} = \sqrt{\frac{d_2}{0.008}} \]

Квадрат обеих сторон: \[ \left( \frac{1.2}{1.5} \right)^2 = \frac{d_2}{0.008} \]

Вычислим: \[ \frac{1.44}{2.25} = \frac{d_2}{0.008} \Rightarrow \frac{d_2}{0.008} \approx 0.64 \]

Теперь перемножим: \[ d_2 \approx 0.64 \times 0.008 \approx 0.00512 \ \text{м} = 5.12 \ \text{мм} \]

Ответ:

Чтобы настроить колебательный контур на длину волны 200 м, расстояние между пластинами конденсатора должно составлять примерно 5.12 мм.