Выберете все верные утверждения: а) окружность, заданная уровнением ײ+( y - 2²)=4, проходит через точку A(-1;1) б)прямая y=10 является касательной к окружности ( ×-9)² + (…

Давайте разберем каждое из предложенных утверждений по отдельности.

Утверждение (а):

Утверждение: Окружность, заданная уравнением \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\), проходит через точку A(-1; 1).

Объяснение:

1. Уравнение окружности \(x^2 + (y - 2)^2 = 4\) описывает окружность с центром в точке \(C(0, 2)\) и радиусом \(r = 2\), поскольку \(4 = r^2\).

2. Чтобы проверить, проходит ли окружность через точку \(A(-1; 1)\), подставим координаты этой точки в уравнение окружности:

   \[ (-1)^2 + (1 - 2)^2 = 1 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2 \]

3. Полученное значение \(2\) не равно \(4\). Это значит, что точка \(A(-1; 1)\) не лежит на окружности.

Вывод: Утверждение (а) является ложным.

Утверждение (б):

Утверждение: Прямая \(y = 10\) является касательной к окружностям \((x - 9)^2 + (y - 7)^2 = 15\) и \((x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 13\), симметричны относительно оси ординат.

Объяснение:

1. Первое уравнение окружности \((x - 9)^2 + (y - 7)^2 = 15\) имеет центр в точке \(C_1(9, 7)\) и радиус \(r_1 = \sqrt{15}\).

2. Второе уравнение окружности \((x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 13\) имеет центр в точке \(C_2(3, -7)\) и радиус \(r_2 = \sqrt{13}\).

3. Проверим, является ли прямая \(y = 10\) касательной к первой окружности. Для этого определим расстояние от центра окружности \(C_1(9, 7)\) до прямой \(y = 10\):

   Расстояние = \(10 - 7 = 3\).

   Теперь сравним это значение с радиусом окружности:

   \(\sqrt{15} \approx 3.87\). Так как расстояние \(3 < \sqrt{15}\), это значит, что прямая не является касательной, а пересекает окружность.

4. Аналогично, проверим для второй окружности \(C_2(3, -7)\):

   Расстояние = \(10 - (-7) = 17\).

   Сравним с радиусом:

   \(\sqrt{13} \approx 3.61\). Так как расстояние \(17 > \sqrt{13}\), прямая также не является касательной и не пересекает окружность.

5. Теперь о симметрии. Центры окружностей \(C_1(9, 7)\) и \(C_2(3, -7)\) имеют разные абсциссы (9 и 3) и разные ординаты (7 и -7). Чтобы окружности были симметричными относительно оси ординат, их центры должны иметь одинаковое значение в уравнении по оси \(y\), но равно противоположное в координате \(x\). В данном случае это не так, следовательно, окружности не симметричны относительно оси ординат.

Вывод: Утверждение (б) также является ложным.

Итог:

Оба утверждения:

• (а) ложное.
• (б) ложное.