2 5/6 + 1/42 - 7 3/4

Чтобы решить задачу \(2 \frac{5}{6} + \frac{1}{42} - 7 \frac{3}{4}\), давай начнем с того, что преобразуем смешанные числа в неправильные дроби, а потом будем выполняя операции по порядку.

Шаг 1: Преобразование смешанных чисел в неправильные дроби

1. Первое число \(2 \frac{5}{6}\):

   • Сначала умножим целую часть на знаменатель дроби: \(2 \times 6 = 12\).
   • Затем добавим числитель: \(12 + 5 = 17\).
   • Значит, \(2 \frac{5}{6} = \frac{17}{6}\).

2. Второе число \(7 \frac{3}{4}\):

   • Умножим целую часть на знаменатель дроби: \(7 \times 4 = 28\).
   • Добавим числитель: \(28 + 3 = 31\).
   • Значит, \(7 \frac{3}{4} = \frac{31}{4}\).

Теперь у нас имеется: \[ \frac{17}{6} + \frac{1}{42} - \frac{31}{4} \]

Шаг 2: Приведение дробей к общему знаменателю

Следующий шаг — найти общий знаменатель для всех дробей. Общий знаменатель для \(6\), \(42\) и \(4\) равен \(84\).

Теперь мы преобразуем каждую дробь:

1. Дробь \(\frac{17}{6}\):

   • Умножим числитель и знаменатель на \(14\) (потому что \(84 \div 6 = 14\)): \[ \frac{17 \times 14}{6 \times 14} = \frac{238}{84} \]

2. Дробь \(\frac{1}{42}\):

   • Умножим числитель и знаменатель на \(2\) (потому что \(84 \div 42 = 2\)): \[ \frac{1 \times 2}{42 \times 2} = \frac{2}{84} \]

3. Дробь \(\frac{31}{4}\):

   • Умножим числитель и знаменатель на \(21\) (потому что \(84 \div 4 = 21\)): \[ \frac{31 \times 21}{4 \times 21} = \frac{651}{84} \]

Теперь мы можем записать выражение: \[ \frac{238}{84} + \frac{2}{84} - \frac{651}{84} \]

Шаг 3: Выполнение операций

Сложим и вычтем дроби (так как они уже имеют одинаковый знаменатель): \[ \frac{238 + 2 - 651}{84} = \frac{240 - 651}{84} = \frac{-411}{84} \]

Шаг 4: Упрощение дроби

Теперь давайте упростим дробь \(\frac{-411}{84}\). Мы можем найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Для \(411\) и \(84\):

• НОД равен \(3\).

Делим числитель и знаменатель на \(3\): \[ \frac{-411 \div 3}{84 \div 3} = \frac{-137}{28} \]

Ответ

Таким образом, результат выражения \(2 \frac{5}{6} + \frac{1}{42} - 7 \frac{3}{4}\) равен: \[ -\frac{137}{28} \]

Если нужно это преобразовать в смешанное число, то: \(-\frac{137}{28}\) можно представить как \(-4 \frac{13}{28}\).

Итог

Ответ: \(-\frac{137}{28} \text{ или } -4 \frac{13}{28}\).