Через точку А, лежащую вне окружности, проведены прямые АСи АЕ, пересекающие окружность в точках В, С, D, E соответственно (см. рисунок). Найдите ВС, если AB = 4, AD = 5, DE = 7.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойством секущих, проведённых из одной точки вне окружности. Это свойство утверждает, что произведения отрезков секущих, выходящих из одной точки, одинаковы. Для двух секущих, пересекающих окружность, это выражается следующим образом:

\[ AB \cdot AC = AD \cdot AE \]

Нам нужно найти \( BC \). Обозначим его как \( x \).

Итак, из известных данных:

• \( AB = 4 \)
• \( AD = 5 \)
• \( DE = 7 \)

Сначала найдём полные длины секущих:

1. Секущая \( AC \):

   • \( AC = AB + BC = 4 + x \)

2. Секущая \( AE \):

   • \( AE = AD + DE = 5 + 7 = 12 \)

Подставляем данные в уравнение:

\[ AB \cdot AC = AD \cdot AE \]

\[ 4 \cdot (4 + x) = 5 \cdot 12 \]

\[ 4 \cdot (4 + x) = 60 \]

Раскроем скобки:

\[ 16 + 4x = 60 \]

Выразим \( x \):

\[ 4x = 60 - 16 \]

\[ 4x = 44 \]

\[ x = \frac{44}{4} \]

\[ x = 11 \]

Таким образом, длина отрезка \( BC \) равна 11.