В кубе ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ найди градусную меру угла между прямой D 1 ​ C и плоскостью (B 1 ​ BC 1 ​ ) .

Чтобы решить задачу, нужно найти угол между прямой и плоскостью в пространстве. В данном случае у нас есть куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, и нам нужно определить угол между прямой D 1 C и плоскостью, заданной точками B 1, B и C 1.

Шаг 1: Определяем координаты вершин куба

Предположим, что куб расположен в пространстве следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A 1 (0, 0, 1)
• B 1 (1, 0, 1)
• C 1 (1, 1, 1)
• D 1 (0, 1, 1)

Шаг 2: Выражаем координаты необходимых точек

Прямая D 1 C:

• точка D 1 (0, 1, 1) и точка C (1, 1, 0)

Плоскость B 1 B C 1:

• точки B 1 (1, 0, 1), B (1, 0, 0) и C 1 (1, 1, 1)

Шаг 3: Находим вектор прямой D 1 C

Вектор D 1 C вычисляется как разница координат: \[ \overrightarrow{D_1 C} = C - D_1 = (1, 1, 0) - (0, 1, 1) = (1, 0, -1) \]

Шаг 4: Находим нормальный вектор к плоскости B 1 B C 1

Для нахождения нормального вектора плоскости нам нужны два вектора, лежащих в этой плоскости. Например, можно взять векторы B 1 B и B 1 C 1:

• Вектор B 1 B: \[ \overrightarrow{B_1 B} = B - B_1 = (1, 0, 0) - (1, 0, 1) = (0, 0, -1) \]

• Вектор B 1 C 1: \[ \overrightarrow{B_1 C_1} = C_1 - B_1 = (1, 1, 1) - (1, 0, 1) = (0, 1, 0) \]

Теперь находим векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор к плоскости: \[ \overrightarrow{N} = \overrightarrow{B_1 B} \times \overrightarrow{B_1 C_1} \] Вычисляем определитель: \[ \overrightarrow{N} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \hat{j}(0 \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \hat{k}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \hat{i}(1) + \hat{j}(0) + \hat{k}(0) = (1, 0, 0) \]

Шаг 5: Находим угол между вектором D 1 C и нормальным вектором N

Для нахождения угла между вектором и нормальным вектором мы используем формулу: \[ \cos \alpha = \frac{|\overrightarrow{D_1 C} \cdot \overrightarrow{N}|}{|\overrightarrow{D_1 C}| |\overrightarrow{N}|} \]

Сначала находим скалярное произведение: \[ \overrightarrow{D_1 C} \cdot \overrightarrow{N} = (1, 0, -1) \cdot (1, 0, 0) = 1 \]

Теперь находим длины векторов: \[ |\overrightarrow{D_1 C}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} \] \[ |\overrightarrow{N}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \]

Теперь подставляем значения в формулу: \[ \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Шаг 6: Находим угол α

Используя арккосинус, получаем: \[ \alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 45^\circ \]

Шаг 7: Определяем угол между прямой D 1 C и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью равен 90 градусов минус угол между вектором и нормальным вектором: \[ \text{Угол между прямой и плоскостью} = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \]

Ответ:

Градусная мера угла между прямой D 1 C и плоскостью (B 1 B C 1) равна 45 градусов.