Равностороннем треугольнике MNK со стороной 10\ 3 провели медиану N Q. Чему равно скалярное произведение векторов КМ и

Давай разберем задачу пошагово. 1. **Определение треугольника:** У нас есть равносторонний треугольник MNK со стороной 10√3. Это значит, что все стороны треугольника равны и равны 10√3. 2. **Проведение медианы:** Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном треугольнике медиана NQ делит сторону MK пополам. Обозначим среднюю точку MK как P. 3. **Координаты вершин:** Установим координаты вершин треугольника. Пусть: - M(0, 0) - N(10√3, 0) (по горизонтали) - K(5√3, 5) (по формуле для координат равностороннего треугольника) Здесь K находится на высоте, которая равна \( \sqrt{(10√3)^2 - (5√3)^2} = \sqrt{300 - 75} = \sqrt{225} = 15 \). Поскольку высота равновесного треугольника равна \( \frac{√3}{2} * 10√3 = 15 \). 4. **Координаты точки P:** Найдем координаты P, которая является серединой отрезка MK: - x-координата P = \( \frac{0 + 5√3}{2} = \frac{5√3}{2} \) - y-координата P = \( \frac{0 + 15}{2} = \frac{15}{2} \) Таким образом, P = \( \left( \frac{5√3}{2}, \frac{15}{2} \right) \). 5. **Координаты точки Q:** Точка Q, как медиана, делит отрезок NP пополам, то есть её координаты можно найти так: - x-координата Q = \( \frac{10√3 + \frac{5√3}{2}}{2} = \frac{20√3 + 5√3}{4} = \frac{25√3}{4} \) - y-координата Q = \( \frac{0 + \frac{15}{2}}{2} = \frac{15}{4} \) Таким образом, Q = \( \left( \frac{25√3}{4}, \frac{15}{4} \right) \). 6. **Векторы KM и KQ:** Теперь найдем вектор KM (M - K) и KQ: - Вектор KM: \( K - M = (5√3, 15) - (0,0) = (5√3, 15) \) - Вектор KQ: \( Q - K = \left( \frac{25√3}{4}, \frac{15}{4} \right) - (5√3, 15) = \left( \frac{25√3 - 20√3}{4}, \frac{15 - 60}{4} \right) = \left( \frac{5√3}{4}, \frac{-45}{4} \right) \) 7. **Скалярное произведение:** Скалярное произведение векторов KM и KQ: \[ KM \cdot KQ = (5√3) \cdot \left( \frac{5√3}{4} \right) + (15) \cdot \left( \frac{-45}{4} \right) = \frac{25 \cdot 3}{4} - \frac{675}{4} = \frac{75 - 675}{4} = \frac{-600}{4} = -150 \] Таким образом, скалярное произведение векторов KM и KQ равно -150.