равностороннем треугольнике MNK со стороной 10\ 3 провели медиану N Q. Чему равно скалярное произведение векторов КМ и

Давай разберем задачу пошагово.

1. Определение треугольника:
   У нас есть равносторонний треугольник MNK со стороной 10√3. Это значит, что все стороны треугольника равны и равны 10√3.

2. Проведение медианы:
   Медиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В данном треугольнике медиана NQ делит сторону MK пополам. Обозначим среднюю точку MK как P.

3. Координаты вершин:
   Установим координаты вершин треугольника. Пусть:

   • M(0, 0)
   • N(10√3, 0) (по горизонтали)
   • K(5√3, 5) (по формуле для координат равностороннего треугольника)

   Здесь K находится на высоте, которая равна \( \sqrt{(10√3)^2 - (5√3)^2} = \sqrt{300 - 75} = \sqrt{225} = 15 \). Поскольку высота равновесного треугольника равна \( \frac{√3}{2} * 10√3 = 15 \).

4. Координаты точки P:
   Найдем координаты P, которая является серединой отрезка MK:

   • x-координата P = \( \frac{0 + 5√3}{2} = \frac{5√3}{2} \)
   • y-координата P = \( \frac{0 + 15}{2} = \frac{15}{2} \)

   Таким образом, P = \( \left( \frac{5√3}{2}, \frac{15}{2} \right) \).

5. Координаты точки Q:
   Точка Q, как медиана, делит отрезок NP пополам, то есть её координаты можно найти так:

   • x-координата Q = \( \frac{10√3 + \frac{5√3}{2}}{2} = \frac{20√3 + 5√3}{4} = \frac{25√3}{4} \)
   • y-координата Q = \( \frac{0 + \frac{15}{2}}{2} = \frac{15}{4} \)

   Таким образом, Q = \( \left( \frac{25√3}{4}, \frac{15}{4} \right) \).

6. Векторы KM и KQ:
   Теперь найдем вектор KM (M - K) и KQ:

   • Вектор KM: \( K - M = (5√3, 15) - (0,0) = (5√3, 15) \)
   • Вектор KQ: \( Q - K = \left( \frac{25√3}{4}, \frac{15}{4} \right) - (5√3, 15) = \left( \frac{25√3 - 20√3}{4}, \frac{15 - 60}{4} \right) = \left( \frac{5√3}{4}, \frac{-45}{4} \right) \)

7. Скалярное произведение:
   Скалярное произведение векторов KM и KQ: \[ KM \cdot KQ = (5√3) \cdot \left( \frac{5√3}{4} \right) + (15) \cdot \left( \frac{-45}{4} \right) = \frac{25 \cdot 3}{4} - \frac{675}{4} = \frac{75 - 675}{4} = \frac{-600}{4} = -150 \]

Таким образом, скалярное произведение векторов KM и KQ равно -150.