Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: −10, 𝑥, −120, −240√ 3. Найдите 𝑥.
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим этот знаменатель как \( r \).
В данной задаче у нас есть следующие члены геометрической прогрессии:
- Первый член \( a_1 = -10 \)
- Второй член \( a_2 = x \)
- Третий член \( a_3 = -120 \)
- Четвертый член \( a_4 = -240\sqrt{3} \)
Мы знаем, что для геометрической прогрессии выполняется следующее равенство: \[ a_2 = a_1 \cdot r \] \[ a_3 = a_2 \cdot r \] \[ a_4 = a_3 \cdot r \]
Теперь запишем эти равенства для наших членов прогрессии:
Для второго члена: \[ x = -10 \cdot r \tag{1} \]
Для третьего члена: \[ -120 = x \cdot r \tag{2} \]
Для четвертого члена: \[ -240\sqrt{3} = -120 \cdot r \tag{3} \]
Решим уравнение (3) для \( r \): \[ -240\sqrt{3} = -120 \cdot r \implies r = \frac{240\sqrt{3}}{120} = 2\sqrt{3} \]
Теперь подставим значение \( r \) в уравнение (1): \[ x = -10 \cdot (2\sqrt{3}) = -20\sqrt{3} \]
Теперь подставим значение \( x \) в уравнение (2) для проверки: \[ -120 = (-20\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \] Вычислим правую часть: \[ (-20\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = -40 \cdot 3 = -120 \]
Проверка пройдена, все уравнения согласуются.
Таким образом, значение \( x \): \[ \boxed{-20\sqrt{3}} \]
