Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждое последующее число получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии. Обозначим этот знаменатель как ( r ).
В данной задаче у нас есть следующие члены геометрической прогрессии:
- Первый член ( a_1 = -10 )
- Второй член ( a_2 = x )
- Третий член ( a_3 = -120 )
- Четвертый член ( a_4 = -240\sqrt{3} )
Мы знаем, что для геометрической прогрессии выполняется следующее равенство:
[
a_2 = a_1 \cdot r
]
[
a_3 = a_2 \cdot r
]
[
a_4 = a_3 \cdot r
]
Теперь запишем эти равенства для наших членов прогрессии:
Для второго члена:
[
x = -10 \cdot r \tag{1}
]
Для третьего члена:
[
-120 = x \cdot r \tag{2}
]
Для четвертого члена:
[
-240\sqrt{3} = -120 \cdot r \tag{3}
]
Решим уравнение (3) для ( r ):
[
-240\sqrt{3} = -120 \cdot r \implies r = \frac{240\sqrt{3}}{120} = 2\sqrt{3}
]
Теперь подставим значение ( r ) в уравнение (1):
[
x = -10 \cdot (2\sqrt{3}) = -20\sqrt{3}
]
Теперь подставим значение ( x ) в уравнение (2) для проверки:
[
-120 = (-20\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3})
]
Вычислим правую часть:
[
(-20\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) = -40 \cdot 3 = -120
]
Проверка пройдена, все уравнения согласуются.
Таким образом, значение ( x ):
[
\boxed{-20\sqrt{3}}
]
