Реши задачу на фото

Для задачи 2 из Варианта Б1 нужно определить, подобны ли прямоугольные треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \).

Подобие треугольников определяется следующим образом: два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и стороны пропорциональны.

Давайте докажем подобие этих треугольников:

1. Углы:

   • Угол \( A \) равен углу \( A' \) (оба равны \( 90^\circ \) как прямые углы).
   • Угол \( B \) равен углу \( B' \) (общий угол при вершинной вершине в данной конфигурации).
   • Таким образом, накрест лежащие углы равны.

2. Пропорциональность сторон:

   • В треугольнике \( ABC \):

     • Стороны \( AB = 8 \), \( BC = 10 \), \( AC \) (гипотенуза).
     • Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти \( AC \): \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 = 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164 \implies AC = \sqrt{164} \]

   • В треугольнике \( A'B'C' \):

     • Стороны \( A'B' = 4 \), \( B'C' = 5 \), \( A'C' \) (гипотенуза).
     • Найдем \( A'C' \) с помощью теоремы Пифагора: \[ A'C'^2 = A'B'^2 + B'C'^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41 \implies A'C' = \sqrt{41} \]

3. Проверка подобия через отношение сторон:

   • Посчитаем отношение соответствующих сторон: \[ \frac{AB}{A'B'} = \frac{8}{4} = 2 \] \[ \frac{BC}{B'C'} = \frac{10}{5} = 2 \] \[ \frac{AC}{A'C'} = \frac{\sqrt{164}}{\sqrt{41}} = 2 \]

Все три пары сторон пропорциональны с коэффициентом 2, что подтверждает, что прямоугольные треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) подобны.

Ответ: Да, треугольники \( ABC \) и \( A'B'C' \) подобны.