Чтобы решить данную задачу, будем использовать формулу условной вероятности. Обозначим события следующим образом:
- ( A ): выпала первая кость (с нечётными числами).
- ( B ): выпало два числа 3 и 1 в каком-либо порядке.
Нам нужно найти вероятность ( P(A|B) ), что означает вероятность того, что выбрали первую игральную кость при условии, что выпали числа 3 и 1.
Шаг 1: Найдем полные вероятности ( P(B|A) ) и ( P(B|A^c) )
Кость 1 (с нечётными числами):
Грани: 1, 1, 3, 3, 5, 5
Итак, здесь мы не можем получить 3 и 1, следовательно:
[
P(B|A) = 0
]
Кость 2 (с числами 1 и 3):
Грани: 1, 1, 1, 3, 3, 3
Теперь посчитаем вероятность получения 1 и 3 при броске этой кости. Возможные исходы для двух бросков, чтобы получить 1 и 3, могут быть:
Теперь найдем вероятности каждого события:
- Вероятность, что в первом броске выпало 1, а во втором 3:
[
P(1, 3) = P(1) \cdot P(3) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
]
- Вероятность, что в первом броске выпало 3, а во втором 1:
[
P(3, 1) = P(3) \cdot P(1) = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}
]
Итак, общее время:
[
P(B|A^c) = P(1, 3) + P(3, 1) = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}
]
Шаг 2: Найдем общую вероятность ( P(B) )
Теперь применим теорему полной вероятности:
[
P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|A^c) \cdot P(A^c)
]
Здесь мы предполагаем, что шансы выбрать любую кость равны, т.е.:
[
P(A) = P(A^c) = \frac{1}{2}
]
Таким образом:
[
P(B) = 0 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = 0 + \frac{1}{12} = \frac{1}{12}
]
Шаг 3: Найдем вероятности ( P(A \cap B) )
Из определения вероятности ( P(A \cap B) ):
[
P(A \cap B) = P(B|A) \cdot P(A) = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0
]
Шаг 4: Найдем условную вероятность ( P(A|B) )
Теперь можем использовать формулу условной вероятности:
[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0}{\frac{1}{12}} = 0
]
Ответ:
Вероятность того, что кидали первую игральную кость при условии, что выпали числа 3 и 1, равна 0.00 (округленно до сотых).
