Давайте решим задачу шаг за шагом. Нам дана формула высоты камня, брошенного под углом к горизонту:
[ h(t) = 3,6 + 8t - 5t^2 ]
Где ( h(t) ) — высота в метрах, а ( t ) — время в секундах. Нам нужно выяснить, сколько секунд камень будет находиться на высоте не менее 6 метров.
Шаг 1: Найдем момент времени, когда камень будет находиться на высоте 6 метров.
Для начала мы установим неравенство:
[ h(t) \geq 6 ]
Подставим выражение для ( h(t) ):
[ 3,6 + 8t - 5t^2 \geq 6 ]
Шаг 2: Упростим неравенство.
Вычтем 6 из обеих сторон:
[ 3,6 + 8t - 5t^2 - 6 \geq 0 ]
Упростим:
[ -5t^2 + 8t - 2,4 \geq 0 ]
Умножив обе стороны неравенства на -1 (поменяем знак неравенства):
[ 5t^2 - 8t + 2,4 \leq 0 ]
Шаг 3: Найдем корни квадратного уравнения.
Используем формулу квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ):
Для нашего уравнения:
- ( a = 5 )
- ( b = -8 )
- ( c = 2,4 )
Корни уравнения находятся по формуле:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Подставим значения:
[
t = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2,4}}{2 \cdot 5}
]
Рассчитаем дискриминант:
[
D = 64 - (4 \cdot 5 \cdot 2,4) = 64 - 48 = 16
]
Теперь можем найти корни:
[
t = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{8 \pm 4}{10}
]
Шаг 4: Вычислим корни.
Корень 1:
[
t_1 = \frac{8 + 4}{10} = \frac{12}{10} = 1,2
]
Корень 2:
[
t_2 = \frac{8 - 4}{10} = \frac{4}{10} = 0,4
]
Шаг 5: Проанализируем результаты.
Теперь у нас есть два времени ( t_1 = 1,2 ) и ( t_2 = 0,4 ). Поскольку мы имеем неравенство ( 5t^2 - 8t + 2,4 \leq 0 ), это означает, что камень будет находиться на высоте не менее 6 метров на интервале между корнями:
Шаг 6: Определим длину интервала.
Камень будет находиться на высоте не менее 6 метров в интервале:
[ t \in [0,4; 1,2] ]
Чтобы найти, сколько секунд камень будет на этой высоте, вычислим разницу ( 1,2 - 0,4 ):
[
1,2 - 0,4 = 0,8
]
Ответ:
Камень будет находиться на высоте не менее 6 метров 0,8 секунды.
