Дан куб ABCDA,B,C,D, (рис. 14.18). 1) Среди приведённых углов укажите линейный угол двугранного угла, грани которого принадлежат плоскостям АВС и АВС₁: a) ZA₁AB; 2) Найдите 6) ZA₁AB₁; B) ∠B₁DA; г) ∠B₁АВ; д) ∠B₁DB. величину указанного двугранного угла.

Для решения задачи, обратим внимание на геометрические свойства куба и его граней. ### Шаг 1: Определение линейного угла 1. **Линейный угол двугранного угла** – это угол, образованный двумя пересекающимися плоскостями. В вашем случае грани, принадлежащие плоскостям ABC и ABC₁, формируют двугранный угол, где одна грань – это плоскость ABC (основание), а другая – плоскость ABC₁ (грань куба, параллельная основанию). 2. **Углы, представленные в задаче:** - a) ZA₁AB - B) ∠B₁DA - г) ∠B₁АВ - д) ∠B₁DB Из этих углов линейным углом является угол, который непосредственно подходит под определение линейного угла между указанными гранями. В данном случае это угол a) ZA₁AB, так как он формируется между плоскостью ABC и плоскостью ABC₁. ### Шаг 2: Определение величины двугранного угла Чтобы найти величину угла ZA₁AB: 1. **Определение координат вершин куба:** - Положим, что куб ABCDA,B,C,D имеет вершинные координаты: - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - A₁(0, 0, 1) - B₁(1, 0, 1) - C₁(1, 1, 1) - D₁(0, 1, 1) 2. **Нормали к плоскостям:** - Плоскость ABC можно описать вектором нормали, который перпендикулярен двум векторами, образованными точками A, B и C: - AB = B - A = (1, 0, 0) - AC = C - A = (1, 1, 0) - Используем векторное произведение: \[ N_1 = AB \times AC = (1,0,0) \times (1,1,0) = (0,0,1) \] - Для плоскости ABC₁ нормаль также можно найти: - AB = B - A = (1, 0, 0) - AA₁ = A₁ - A = (0, 0, 1) - Векторное произведение: \[ N_2 = AB \times AA₁ = (1,0,0) \times (0,0,1) = (0,-1,0) \] 3. **Угол между плоскостями:** - Для нахождения угла между ними используем скалярное произведение нормалей: \[ \cos \theta = \frac{N_1 \cdot N_2}{|N_1| |N_2|} = \frac{(0,0,1) \cdot (0,-1,0)}{|(0,0,1)| \cdot |(0,-1,0)|} = 0 \] - Так как косинус угла равен 0, величина угла составляет 90 градусов. ### Ответ: 1. Линейный угол между плоскостями A, B, C и A, B, C₁ – это угол ZA₁AB. 2. Величина указанного двугранного угла составляет 90 градусов.