Упростить выражение cos2t/cost+sint

Давайте упрощать выражение \( \frac{\cos 2t}{\cos t + \sin t} \). ### Шаг 1: Исследуем выражение Прежде всего, нужно помнить некоторые тригонометрические идентичности, которые могут помочь нам в упрощении: 1. \( \cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t \) (это одна из формул приведения для косинуса двойного угла) 2. Также знаем, что \( \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \). ### Шаг 2: Подставляем формулу для косинуса двойного угла Заменим \( \cos 2t \) в нашем выражении: \[ \frac{\cos 2t}{\cos t + \sin t} = \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t + \sin t} \] ### Шаг 3: Попробуем разложить числитель Теперь у нас есть дробь: \[ \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t + \sin t} \] Мы можем заметить, что в числителе мы имеем разность квадратов: \[ \cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t + \sin t)(\cos t - \sin t) \] ### Шаг 4: Сокращаем Теперь подставим это в нашу дробь: \[ \frac{(\cos t + \sin t)(\cos t - \sin t)}{\cos t + \sin t} \] Если \( \cos t + \sin t \neq 0 \), мы можем сократить \( \cos t + \sin t \) в числителе и знаменателе: \[ \cos t - \sin t \] Таким образом, мы получаем упрощенное выражение: \[ \cos t - \sin t \] ### Шаг 5: Запишем итоговый ответ Итак, окончательный результат упрощения выражения \( \frac{\cos 2t}{\cos t + \sin t} \): \[ \boxed{\cos t - \sin t} \] Если \( \cos t + \sin t = 0 \), тогда мы не можем делать данное сокращение, и у нас будут особые случаи, когда нужно анализировать исходное выражение \( \frac{\cos 2t}{\cos t + \sin t} \) отдельно.