Чтобы найти площадь треугольника ABC в трапеции ABCD, давайте сначала вспомним несколько основных свойств трапеции и формул для вычисления площадей.
Шаг 1: Вычисление высоты трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле:
[
S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}
]
где:
- ( S ) — площадь трапеции,
- ( a ) и ( b ) — длины оснований (в нашем случае, ( AD ) и ( BC )),
- ( h ) — высота трапеции.
Подставим известные значения:
- ( a = AD = 10 )
- ( b = BC = 8 )
- ( S = 108 )
Подставляем в формулу площади:
[
108 = \frac{(10 + 8) \cdot h}{2}
]
Упростим выражение:
[
108 = \frac{18h}{2}
]
[
108 = 9h
]
Теперь найдем высоту ( h ):
[
h = \frac{108}{9} = 12
]
Шаг 2: Вычисление площади треугольника ABC
Теперь мы знаем высоту трапеции. Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу для площади треугольника:
[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота
]
В данном случае основанием треугольника будет длина ( BC ), а высота будет равна высоте трапеции ( h ).
Подставляем значения:
- Основание ( = BC = 8 )
- Высота ( = h = 12 )
Теперь считаем площадь:
[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12
]
[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 96 = 48
]
Ответ
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 48.
