В коробке лежат 5 красных и 3 синих шара. Из коробки случайным образом хотя бы один шар красный? вытаскивают два шара. Какова вероятность, что оба шара красные, если известно, что…

Для решения задачи по нахождению вероятности того, что оба шара красные, если известно, что хотя бы один из них красный, мы используем условную вероятность.

Дано:

• В коробке 5 красных и 3 синих шара.
• Всего шаров: \(5 + 3 = 8\).

Обозначения:

• \(A\) — событие, что оба шара красные.
• \(B\) — событие, что хотя бы один шар красный.

Мы ищем условную вероятность \(P(A|B)\), которая рассчитывается по формуле: \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

Шаг 1: Находим \(P(A)\) (вероятность того, что оба шара красные)

Общее количество способов выбрать 2 шара из 8: \[ C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28 \]

Количество способов выбрать 2 красных шара из 5: \[ C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

Вероятность того, что оба шара красные: \[ P(A) = \frac{C(5, 2)}{C(8, 2)} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14} \]

Шаг 2: Находим \(P(B)\) (вероятность того, что хотя бы один шар красный)

Сначала найдем вероятность противоположного события — того, что оба шара не красные (то есть оба шара синие).

Количество способов выбрать 2 синих шара из 3: \[ C(3, 2) = 3 \]

Вероятность того, что оба шара синие: \[ P(\text{оба синие}) = \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = \frac{3}{28} \]

Теперь найдем вероятность \(P(B)\): \[ P(B) = 1 - P(\text{оба синие}) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{28 - 3}{28} = \frac{25}{28} \]

Шаг 3: Находим \(P(A \cap B)\)

Событие \(A\) (оба шара красные) всегда включает в себя событие \(B\) (хотя бы один шар красный). Таким образом, \(P(A \cap B) = P(A)\): \[ P(A \cap B) = P(A) = \frac{5}{14} \]

Шаг 4: Подставляем в формулу для условной вероятности

Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для \(P(A|B)\): \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{25}{28}} = \frac{5}{14} \cdot \frac{28}{25} = \frac{5 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 2}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \]

Ответ

Вероятность того, что оба шара красные при условии, что хотя бы один шар красный, равна \(\frac{2}{5}\).