Для решения задачи по нахождению вероятности того, что оба шара красные, если известно, что хотя бы один из них красный, мы используем условную вероятность.
Дано:
- В коробке 5 красных и 3 синих шара.
- Всего шаров: (5 + 3 = 8).
Обозначения:
- (A) — событие, что оба шара красные.
- (B) — событие, что хотя бы один шар красный.
Мы ищем условную вероятность (P(A|B)), которая рассчитывается по формуле:
[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
]
Шаг 1: Находим (P(A)) (вероятность того, что оба шара красные)
Общее количество способов выбрать 2 шара из 8:
[
C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28
]
Количество способов выбрать 2 красных шара из 5:
[
C(5, 2) = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10
]
Вероятность того, что оба шара красные:
[
P(A) = \frac{C(5, 2)}{C(8, 2)} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}
]
Шаг 2: Находим (P(B)) (вероятность того, что хотя бы один шар красный)
Сначала найдем вероятность противоположного события — того, что оба шара не красные (то есть оба шара синие).
Количество способов выбрать 2 синих шара из 3:
[
C(3, 2) = 3
]
Вероятность того, что оба шара синие:
[
P(\text{оба синие}) = \frac{C(3, 2)}{C(8, 2)} = \frac{3}{28}
]
Теперь найдем вероятность (P(B)):
[
P(B) = 1 - P(\text{оба синие}) = 1 - \frac{3}{28} = \frac{28 - 3}{28} = \frac{25}{28}
]
Шаг 3: Находим (P(A \cap B))
Событие (A) (оба шара красные) всегда включает в себя событие (B) (хотя бы один шар красный). Таким образом, (P(A \cap B) = P(A)):
[
P(A \cap B) = P(A) = \frac{5}{14}
]
Шаг 4: Подставляем в формулу для условной вероятности
Теперь мы можем подставить найденные значения в формулу для (P(A|B)):
[
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{14}}{\frac{25}{28}} = \frac{5}{14} \cdot \frac{28}{25} = \frac{5 \cdot 28}{14 \cdot 25} = \frac{5 \cdot 2}{25} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}
]
Ответ
Вероятность того, что оба шара красные при условии, что хотя бы один шар красный, равна (\frac{2}{5}).
