В амфитеатре 14 рядов причем в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше чем в предыдущем в пятом ряду 27 мест а в восьмом 36 мест сколько всего мест в амфитеатре

Давайте обозначим количество мест в первом ряду как \( x \) и количество мест, которое добавляется в каждом следующем ряду, как \( d \).

Согласно данным, у нас есть следующее:

• В пятом ряду количество мест: \[ x + 4d = 27 \]
• В восьмом ряду количество мест: \[ x + 7d = 36 \]

Теперь у нас есть система линейных уравнений. Выразим \( d \) из первого уравнения:

1. \( x + 4d = 27 \) \[ 4d = 27 - x \] \[ d = \frac{27 - x}{4} \]

Теперь подставим \( d \) во второе уравнение:

2. \( x + 7d = 36 \) \[ x + 7 \left(\frac{27 - x}{4}\right) = 36 \]

Умножим всё на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 4x + 7(27 - x) = 144 \] \[ 4x + 189 - 7x = 144 \] \[ -3x + 189 = 144 \] \[ -3x = 144 - 189 \] \[ -3x = -45 \] \[ x = 15 \]

Теперь найдем \( d \):

\[ d = \frac{27 - 15}{4} = \frac{12}{4} = 3 \]

Теперь мы можем найти количество мест в каждом ряду:

• 1 ряд: \( x = 15 \)
• 2 ряд: \( 15 + 3 = 18 \)
• 3 ряд: \( 15 + 2 \cdot 3 = 21 \)
• 4 ряд: \( 15 + 3 \cdot 3 = 24 \)
• 5 ряд: \( 15 + 4 \cdot 3 = 27 \)
• 6 ряд: \( 15 + 5 \cdot 3 = 30 \)
• 7 ряд: \( 15 + 6 \cdot 3 = 33 \)
• 8 ряд: \( 15 + 7 \cdot 3 = 36 \)
• 9 ряд: \( 15 + 8 \cdot 3 = 39 \)
• 10 ряд: \( 15 + 9 \cdot 3 = 42 \)
• 11 ряд: \( 15 + 10 \cdot 3 = 45 \)
• 12 ряд: \( 15 + 11 \cdot 3 = 48 \)
• 13 ряд: \( 15 + 12 \cdot 3 = 51 \)
• 14 ряд: \( 15 + 13 \cdot 3 = 54 \)

Теперь посчитаем общее количество мест:

\[ 15 + 18 + 21 + 24 + 27 + 30 + 33 + 36 + 39 + 42 + 45 + 48 + 51 + 54 \]

Чтобы быстро посчитать сумму, можно воспользоваться формулой арифметической прогрессии. Количество членов \( n = 14 \), первый член \( a_1 = 15 \), последний член \( a_n = 54 \).

Сумма \( S_n \) арифметической прогрессии: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) = \frac{14}{2} \times (15 + 54) = 7 \times 69 = 483 \]

Таким образом, всего мест в амфитеатре 483.