Давайте подробно разберем задачу о том, сколько способов можно выбрать 5 строителей и 3 маляра из данной бригады.
У нас есть:
Мы должны выбрать:
- 5 строителей из 9
- 3 маляра из 6
Это задача на выбор без повторений, которую можно решить с использованием комбинаций. Формула для вычисления количества комбинаций (или сочетаний) из ( n ) элементов по ( k ) называется "биномиальный коэффициент" и обозначается как ( C(n, k) ) или ( \binom{n}{k} ). Она выглядит следующим образом:
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}
]
где ( n! ) (факториал ( n )) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до ( n ).
Шаг 1: Рассчитаем количество способов выбрать 5 строителей из 9
Используем формулу для комбинаций:
[
C(9, 5) = \frac{9!}{5! \cdot (9 - 5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!}
]
Теперь найдем факториалы:
- ( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! ) (мы можем выразить 9! так, чтобы ( 5! ) сократился)
- ( 5! = 120 )
- ( 4! = 24 )
Теперь подставляем:
[
C(9, 5) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126
]
Шаг 2: Рассчитаем количество способов выбрать 3 маляра из 6
Теперь сделаем то же самое для маляров:
[
C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!}
]
Находим факториалы:
Теперь подставляем:
[
C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20
]
Шаг 3: Подсчитаем общее количество способов
Чтобы найти общее количество способов выбрать как строителей, так и маляров, нужно перемножить количество способов для каждой группы:
[
\text{Общее количество способов} = C(9, 5) \times C(6, 3) = 126 \times 20 = 2520
]
Ответ
Таким образом, существует 2520 способов выбрать 5 строителей и 3 маляра на ремонт актового зала.
