В летний период в школе собираются сделать ремонт. Для этого нанимают бригаду рабочих в составе 15 человек, которая состоит из 9 строителей и 6 маляров. Из этой бригады надо…

Давайте подробно разберем задачу о том, сколько способов можно выбрать 5 строителей и 3 маляра из данной бригады.

У нас есть:

• 9 строителей
• 6 маляров

Мы должны выбрать:

• 5 строителей из 9
• 3 маляра из 6

Это задача на выбор без повторений, которую можно решить с использованием комбинаций. Формула для вычисления количества комбинаций (или сочетаний) из \( n \) элементов по \( k \) называется "биномиальный коэффициент" и обозначается как \( C(n, k) \) или \( \binom{n}{k} \). Она выглядит следующим образом:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \]

где \( n! \) (факториал \( n \)) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до \( n \).

Шаг 1: Рассчитаем количество способов выбрать 5 строителей из 9

Используем формулу для комбинаций:

\[ C(9, 5) = \frac{9!}{5! \cdot (9 - 5)!} = \frac{9!}{5! \cdot 4!} \]

Теперь найдем факториалы:

• \( 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5! \) (мы можем выразить 9! так, чтобы \( 5! \) сократился)
• \( 5! = 120 \)
• \( 4! = 24 \)

Теперь подставляем:

\[ C(9, 5) = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{3024}{24} = 126 \]

Шаг 2: Рассчитаем количество способов выбрать 3 маляра из 6

Теперь сделаем то же самое для маляров:

\[ C(6, 3) = \frac{6!}{3! \cdot (6 - 3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \]

Находим факториалы:

• \( 6! = 720 \)
• \( 3! = 6 \)

Теперь подставляем:

\[ C(6, 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = \frac{120}{6} = 20 \]

Шаг 3: Подсчитаем общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов выбрать как строителей, так и маляров, нужно перемножить количество способов для каждой группы:

\[ \text{Общее количество способов} = C(9, 5) \times C(6, 3) = 126 \times 20 = 2520 \]

Ответ

Таким образом, существует 2520 способов выбрать 5 строителей и 3 маляра на ремонт актового зала.