Для нахождения длины медианы треугольника воспользуемся формулой, которая позволяет вычислить длину медианы по координатам вершин треугольника. В данном случае вершины треугольника обозначены как ( A(1, 2, 3) ), ( B(6, 3, 6) ) и ( C(-2, 5, 2) ).
Шаг 1: Найдем координаты середины отрезка, соединяющего вершины ( B ) и ( C )
Сначала найдем координаты точки ( M ), которая является серединой отрезка ( BC ). Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:
[
M\left(x_m, y_m, z_m\right) = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}, \frac{z_B + z_C}{2} \right)
]
Подставим значения:
- ( B (6, 3, 6) )
- ( C (-2, 5, 2) )
Теперь вычислим:
[
x_m = \frac{6 + (-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
[
y_m = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
[
z_m = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4
]
Итак, координаты точки ( M ) равны ( M(2, 4, 4) ).
Шаг 2: Найдем длину медианы ( AM )
Теперь мы можем найти длину медианы ( AM ) от точки ( A ) до точки ( M ) с использованием формулы для вычисления расстояния в пространстве:
[
AM = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2 + (z_A - z_M)^2}
]
Подставим значения:
- ( A(1, 2, 3) )
- ( M(2, 4, 4) )
Теперь выполним расчеты:
[
AM = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - 4)^2}
]
[
= \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-1)^2}
]
[
= \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}
]
Ответ
Длина медианы ( AM ) равна ( \sqrt{6} ).
