Лера взяла кредит в банке с процентной ставкой 10 % 10% годовых. Погашение долга будет происходить дифференцированными платежами. На сколько лет взяла кредит Лера, если оказалось,…

Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Понимание условий задачи

Лера взяла кредит в банке с процентной ставкой 10% годовых. Она будет погашать долг дифференцированными платежами. Сумма всех выплат после полного погашения кредита оказалась на 30% больше, чем сумма, взятая в кредит (это называется полная сумма выплат).

Шаг 2: Определение переменных

Пусть:

• \( S \) — сумма кредита (например, в условных единицах).
• \( n \) — количество лет, на которое взят кредит.

Шаг 3: Рассмотрение выплаты при дифференцированных платежах

При дифференцированных платежах основная сумма кредита делится на равные части, а проценты считаются на оставшуюся сумму долга. То есть, каждый год Лера будет платить:

1. Основную сумму кредита: \( \frac{S}{n} \)
2. Проценты на оставшуюся сумму.

Проценты будут рассчитаны следующим образом:

• В первый год проценты: \( S \times 10\% = 0.1S \)
• На второй год оставшийся долг будет \( S - \frac{S}{n} \), и проценты будут: \( (S - \frac{S}{n}) \times 10\% \)
• И так далее, пока не будет выплачен весь кредит.

Шаг 4: Общая формула выплат

Общая сумма выплат \( P \) будет равна сумме всех платежей за \( n \) лет.

Запишем:

\[ P = n \cdot \frac{S}{n} + 0.1S + 0.1(S - \frac{S}{n}) + 0.1(S - 2 \cdot \frac{S}{n}) + \ldots + 0.1(S - (n-1) \cdot \frac{S}{n}) \]

Шаг 5: Упрощение выражения

Полная сумма выплат после выплаты кредита:

\[ P = S + 0.1S \cdot n - 0.1S \cdot \frac{(n-1)n}{2n} \] где \(\frac{(n-1)n}{2n}\) — это сумма первых \( n-1 \) членов, так как мы отнимаем нулевые проценты, когда остается 0 кредита.

Шаг 6: Сравнение с условием задачи

По условию, общая сумма выплат \( P \) на 30% больше, чем сумма кредита:

\[ P = S + 0.3S = 1.3S \]

Шаг 7: Равенство

Сравниваем обе части:

\[ S + 0.1S \cdot n - 0.1S \cdot \frac{(n-1)n}{2n} = 1.3S \]

Шаг 8: Упрощение уравнения

Преобразуем уравнение:

\[ 0.1S \cdot n - 0.05S(n-1) = 0.3S \]

Делим всё на \( S \) (при условии \( S \neq 0 \)):

\[ 0.1n - 0.05(n-1) = 0.3 \]

Упрощаем:

\[ 0.1n - 0.05n + 0.05 = 0.3 \] \[ 0.05n + 0.05 = 0.3 \] \[ 0.05n = 0.25 \] \[ n = \frac{0.25}{0.05} = 5 \]

Ответ

Лера взяла кредит на 5 лет.

Если остались вопросы или нужно объяснить другие аспекты, дайте знать!