Давайте разберемся с задачей шаг за шагом.
Шаг 1: Понимание условий задачи
Лера взяла кредит в банке с процентной ставкой 10% годовых. Она будет погашать долг дифференцированными платежами. Сумма всех выплат после полного погашения кредита оказалась на 30% больше, чем сумма, взятая в кредит (это называется полная сумма выплат).
Шаг 2: Определение переменных
Пусть:
- ( S ) — сумма кредита (например, в условных единицах).
- ( n ) — количество лет, на которое взят кредит.
Шаг 3: Рассмотрение выплаты при дифференцированных платежах
При дифференцированных платежах основная сумма кредита делится на равные части, а проценты считаются на оставшуюся сумму долга. То есть, каждый год Лера будет платить:
- Основную сумму кредита: ( \frac{S}{n} )
- Проценты на оставшуюся сумму.
Проценты будут рассчитаны следующим образом:
- В первый год проценты: ( S \times 10% = 0.1S )
- На второй год оставшийся долг будет ( S - \frac{S}{n} ), и проценты будут: ( (S - \frac{S}{n}) \times 10% )
- И так далее, пока не будет выплачен весь кредит.
Шаг 4: Общая формула выплат
Общая сумма выплат ( P ) будет равна сумме всех платежей за ( n ) лет.
Запишем:
[
P = n \cdot \frac{S}{n} + 0.1S + 0.1(S - \frac{S}{n}) + 0.1(S - 2 \cdot \frac{S}{n}) + \ldots + 0.1(S - (n-1) \cdot \frac{S}{n})
]
Шаг 5: Упрощение выражения
Полная сумма выплат после выплаты кредита:
[
P = S + 0.1S \cdot n - 0.1S \cdot \frac{(n-1)n}{2n}
]
где (\frac{(n-1)n}{2n}) — это сумма первых ( n-1 ) членов, так как мы отнимаем нулевые проценты, когда остается 0 кредита.
Шаг 6: Сравнение с условием задачи
По условию, общая сумма выплат ( P ) на 30% больше, чем сумма кредита:
[
P = S + 0.3S = 1.3S
]
Шаг 7: Равенство
Сравниваем обе части:
[
S + 0.1S \cdot n - 0.1S \cdot \frac{(n-1)n}{2n} = 1.3S
]
Шаг 8: Упрощение уравнения
Преобразуем уравнение:
[
0.1S \cdot n - 0.05S(n-1) = 0.3S
]
Делим всё на ( S ) (при условии ( S \neq 0 )):
[
0.1n - 0.05(n-1) = 0.3
]
Упрощаем:
[
0.1n - 0.05n + 0.05 = 0.3
]
[
0.05n + 0.05 = 0.3
]
[
0.05n = 0.25
]
[
n = \frac{0.25}{0.05} = 5
]
Ответ
Лера взяла кредит на 5 лет.
Если остались вопросы или нужно объяснить другие аспекты, дайте знать!
