Чтобы решить эту задачу, давайте вспомним об основных свойствах проводников и их сопротивления. Сопротивление проводника определяется по формуле:
[ R = \frac{\rho \cdot L}{S} ]
где ( R ) — сопротивление, ( \rho ) — удельное сопротивление материала, ( L ) — длина проводника, а ( S ) — площадь его поперечного сечения.
В этой задаче у нас есть два проводника, причем первый проводник уже известен:
- Сопротивление ( R_1 = 16 , \Omega )
- Площадь поперечного сечения ( S_1 = 0.5 , \text{мм}^2 )
Проводник второго типа, который нужно подобрать, имеет сопротивление:
- Сопротивление ( R_2 = 80 , \Omega )
- Длина ( L ) остается неизменной и равной длине первого проводника.
Также известно, что проводники сделаны из одного и того же материала, следовательно, удельное сопротивление ( \rho ) у них одинаковое.
Для первого проводника можем выразить ( \rho ):
[ R_1 = \frac{\rho \cdot L}{S_1} ]
Теперь, используя формулу для второго проводника:
[ R_2 = \frac{\rho \cdot L}{S_2} ]
где ( S_2 ) — это искомая площадь поперечного сечения второго проводника.
Теперь подставим выражение для ( \rho ) из первого проводника в уравнение второго:
Из первого проводника выразим удельное сопротивление:
[ \rho = \frac{R_1 \cdot S_1}{L} ]
Подставляем ( \rho ) во второе выражение:
[ R_2 = \frac{\left( \frac{R_1 \cdot S_1}{L} \right) \cdot L}{S_2} ]
После сокращения на ( L ) получаем:
[ R_2 = \frac{R_1 \cdot S_1}{S_2} ]
Теперь выразим ( S_2 ):
[ S_2 = \frac{R_1 \cdot S_1}{R_2} ]
Подставляем известные значения:
- ( R_1 = 16 , \Omega )
- ( S_1 = 0.5 , \text{мм}^2 = 0.5 \times 10^{-6} , \text{м}^2 )
- ( R_2 = 80 , \Omega )
Теперь рассчитываем ( S_2 ):
[ S_2 = \frac{16 \cdot 0.5 \times 10^{-6}}{80} ]
Вычислим это шаг за шагом:
[ S_2 = \frac{8 \times 10^{-6}}{80} ]
[ S_2 = \frac{8}{80} \times 10^{-6} = 0.1 \times 10^{-6} , \text{м}^2 = 0.1 , \text{мм}^2 ]
Таким образом, площадь поперечного сечения проводника, который необходимо подобрать для замены, составляет:
Ответ: ( S_2 = 0.1 , \text{мм}^2 )
