дисперсия и отклонение в ряде 1,2,4,5,7,9

Чтобы понять, что такое дисперсия и стандартное отклонение, давайте рассмотрим данный ряд данных: \(1, 2, 4, 5, 7, 9\).

Шаг 1: Вычисление среднего

Сначала найдем среднее значение (математическое ожидание) нашего ряда данных.

\[ \text{Среднее} (\mu) = \frac{1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 9}{6} \]

Считаем сумму:

\[ 1 + 2 + 4 + 5 + 7 + 9 = 28 \]

Теперь делим на количество элементов (в нашем случае 6):

\[ \mu = \frac{28}{6} \approx 4.67 \]

Шаг 2: Вычисление дисперсии

Дисперсия (обозначается как \(\sigma^2\)) показывает, насколько сильно значения отклоняются от среднего.

Чтобы вычислить дисперсию, используем следующую формулу:

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N} \]

где \(x_i\) — каждое из значений в выборке, \(N\) — общее количество значений. Подставим наши данные:

1. Вычислим \( (x_i - \mu)^2 \) для каждого значения:

• Для \(1\): \((1 - 4.67)^2 = ( -3.67 )^2 \approx 13.51\)
• Для \(2\): \((2 - 4.67)^2 = ( -2.67 )^2 \approx 7.11\)
• Для \(4\): \((4 - 4.67)^2 = ( -0.67 )^2 \approx 0.45\)
• Для \(5\): \((5 - 4.67)^2 = (0.33)^2 \approx 0.11\)
• Для \(7\): \((7 - 4.67)^2 = (2.33)^2 \approx 5.43\)
• Для \(9\): \((9 - 4.67)^2 = (4.33)^2 \approx 18.75\)

Теперь сложим эти значения:

\[ 13.51 + 7.11 + 0.45 + 0.11 + 5.43 + 18.75 \approx 45.36 \]

Теперь делим эту сумму на количество элементов (6):

\[ \sigma^2 = \frac{45.36}{6} \approx 7.56 \]

Шаг 3: Вычисление стандартного отклонения

Стандартное отклонение (обозначается как \(\sigma\)) — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{7.56} \approx 2.75 \]

Результат

1. Среднее значение: \( \approx 4.67 \)
2. Дисперсия: \( \approx 7.56 \)
3. Стандартное отклонение: \( \approx 2.75 \)

Таким образом, мы можем сказать, что значения в данном ряду данных, в среднем, отклоняются от среднего значения на \( \approx 2.75 \) единиц, что дает представление о том, насколько разбросаны эти значения.