Найди площадь полной поверхности правильной треугольной призмы с ребром основания 5√3 и боковым ребром 3.

Чтобы найти площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, нам нужно рассмотреть две составляющие: площадь основания призмы и площадь боковых граней.

1. Площадь основания

Основание правильной треугольной призмы — это равносторонний треугольник. Формула для нахождения площади равностороннего треугольника со стороной \( a \) выглядит так:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

В нашем случае длина стороны основания \( a = 5\sqrt{3} \).

Подставляем значение в формулу:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} (5\sqrt{3})^2 \]

Сначала найдем \( (5\sqrt{3})^2 \):

\[ (5\sqrt{3})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75 \]

Теперь подставляем это значение в формулу для нахождения площади:

\[ S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 75 = \frac{75\sqrt{3}}{4} \]

Поскольку в призме два таких основания, общая площадь оснований будет:

\[ S_{оснований} = 2 \cdot S = 2 \cdot \frac{75\sqrt{3}}{4} = \frac{150\sqrt{3}}{4} = 37.5\sqrt{3} \]

2. Площадь боковых граней

Боковые грани призмы — это три прямоугольника, высота каждого из которых равна длине бокового ребра призмы, а длины основания равны сторонам треугольника.

Зная, что у нас три боковые грани, а боковое ребро равно 3 и сторона основания равна \( 5\sqrt{3} \), мы можем рассчитать площадь каждой боковой грани:

• Для первой грани:

\[ S_1 = a \cdot h_1 = 5\sqrt{3} \cdot 3 = 15\sqrt{3} \]

• Для второй грани (сторона треугольника такая же):

\[ S_2 = a \cdot h_2 = 5\sqrt{3} \cdot 3 = 15\sqrt{3} \]

• Для третьей грани (также такая же):

\[ S_3 = a \cdot h_3 = 5\sqrt{3} \cdot 3 = 15\sqrt{3} \]

Теперь складываем площади всех боковых граней:

\[ S_{боковых} = S_1 + S_2 + S_3 = 15\sqrt{3} + 15\sqrt{3} + 15\sqrt{3} = 45\sqrt{3} \]

3. Полная площадь поверхности

Теперь, чтобы найти полную площадь поверхности правильной треугольной призмы, складываем площади оснований и боковых граней:

\[ S_{полная} = S_{оснований} + S_{боковых} = 37.5\sqrt{3} + 45\sqrt{3} = 82.5\sqrt{3} \]

Ответ

Полная площадь поверхности правильной треугольной призмы составляет:

\[ S_{полная} = 82.5\sqrt{3} \]

Это и есть окончательный ответ.