Чтобы понять, как решать задачи на вероятность, давайте подробно разберем каждую из них по порядку.
Задача 1
В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.
Определим общее количество деталей: 15.
Количество окрашенных деталей: 10.
Количество неокрашенных деталей: 5 (15 - 10 = 5).
Необходимая вероятность: Нам нужно найти вероятность того, что все три извлеченные детали будут окрашенными.
Находим общее количество способов выбрать 3 детали из 15:
[
C(15, 3) = \frac{15!}{3! \cdot (15 - 3)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455.
]
Находим количество способов выбрать 3 окрашенные детали из 10:
[
C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120.
]
Находим вероятность извлечения 3 окрашенных деталей:
[
P = \frac{C(10, 3)}{C(15, 3)} = \frac{120}{455} \approx 0.2637.
]
Ответ: Вероятность того, что все 3 извлеченные детали будут окрашенными, составляет примерно 0.2637 или 26.37%.
Задача 2
В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.
Общее количество работников: 15 (10 мужчин + 5 женщин).
Необходимая вероятность: 3 женщины и 4 мужчины.
Находим общее количество способов выбрать 7 человек из 15:
[
C(15, 7) = \frac{15!}{7! \cdot (15 - 7)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{7!} = 6435.
]
Находим количество способов выбрать 3 женщины из 5:
[
C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10.
]
Находим количество способов выбрать 4 мужчин из 10:
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210.
]
Теперь находим количество способов, при которых будет 3 женщины и 4 мужчины:
[
\text{Всего способов} = C(5, 3) \times C(10, 4) = 10 \times 210 = 2100.
]
Находим вероятность:
[
P = \frac{C(5, 3) \times C(10, 4)}{C(15, 7)} = \frac{2100}{6435} \approx 0.326.
]
Ответ: Вероятность того, что среди отобранных 7 человек окажутся 3 женщины, составляет примерно 0.326 или 32.6%.
Задача 3
Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп. Найти вероятность появления бракованной лампы.
- Общее количество ламп: 200.
- Количество бракованных ламп: 15.
- Находим вероятность того, что выбранная лампа окажется бракованной:
[
P = \frac{\text{Количество бракованных ламп}}{\text{Общее количество ламп}} = \frac{15}{200} = 0.075.
]
Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная лампа окажется бракованной, составляет 0.075 или 7.5%.
Задача 4
В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы 2 шара оказались белыми, а один черным?
Количество белых шаров: 10.
Количество черных шаров: 5.
Находим количество способов выбрать 2 белых шара из 10:
[
C(10, 2) = \frac{10!}{2! \cdot (10 - 2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45.
]
Находим количество способов выбрать 1 черный шар из 5:
[
C(5, 1) = 5.
]
Общее количество способов выбрать 2 белых и 1 черный шар:
[
\text{Всего способов} = C(10, 2) \cdot C(5, 1) = 45 \cdot 5 = 225.
]
Ответ: Существует 225 способов выбрать 3 шара так, чтобы 2 были белыми, а один черным.
Если у вас будут дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь обращаться!
