по класси Цели занятня: вычисление вероятностей событ вероятности, развитие самостоятельной мыслительной деятельности, творческого мышления студентов. 1 вариант. 1. В ящике…

Чтобы понять, как решать задачи на вероятность, давайте подробно разберем каждую из них по порядку.

Задача 1

В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

1. Определим общее количество деталей: 15.

2. Количество окрашенных деталей: 10.

3. Количество неокрашенных деталей: 5 (15 - 10 = 5).

4. Необходимая вероятность: Нам нужно найти вероятность того, что все три извлеченные детали будут окрашенными.

5. Находим общее количество способов выбрать 3 детали из 15: \[ C(15, 3) = \frac{15!}{3! \cdot (15 - 3)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455. \]

6. Находим количество способов выбрать 3 окрашенные детали из 10: \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3! \cdot (10 - 3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120. \]

7. Находим вероятность извлечения 3 окрашенных деталей: \[ P = \frac{C(10, 3)}{C(15, 3)} = \frac{120}{455} \approx 0.2637. \]

Ответ: Вероятность того, что все 3 извлеченные детали будут окрашенными, составляет примерно 0.2637 или 26.37%.

Задача 2

В цехе работают 10 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

1. Общее количество работников: 15 (10 мужчин + 5 женщин).

2. Необходимая вероятность: 3 женщины и 4 мужчины.

3. Находим общее количество способов выбрать 7 человек из 15: \[ C(15, 7) = \frac{15!}{7! \cdot (15 - 7)!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{7!} = 6435. \]

4. Находим количество способов выбрать 3 женщины из 5: \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3! \cdot (5 - 3)!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10. \]

5. Находим количество способов выбрать 4 мужчин из 10: \[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \cdot (10 - 4)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210. \]

6. Теперь находим количество способов, при которых будет 3 женщины и 4 мужчины: \[ \text{Всего способов} = C(5, 3) \times C(10, 4) = 10 \times 210 = 2100. \]

7. Находим вероятность: \[ P = \frac{C(5, 3) \times C(10, 4)}{C(15, 7)} = \frac{2100}{6435} \approx 0.326. \]

Ответ: Вероятность того, что среди отобранных 7 человек окажутся 3 женщины, составляет примерно 0.326 или 32.6%.

Задача 3

Отдел технического контроля обнаружил 15 бракованных ламп в партии из случайно отобранных 200 ламп. Найти вероятность появления бракованной лампы.

1. Общее количество ламп: 200.
2. Количество бракованных ламп: 15.
3. Находим вероятность того, что выбранная лампа окажется бракованной: \[ P = \frac{\text{Количество бракованных ламп}}{\text{Общее количество ламп}} = \frac{15}{200} = 0.075. \]

Ответ: Вероятность того, что случайно выбранная лампа окажется бракованной, составляет 0.075 или 7.5%.

Задача 4

В урне 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно наугад вынуть 3 шара, чтобы 2 шара оказались белыми, а один черным?

1. Количество белых шаров: 10.

2. Количество черных шаров: 5.

3. Находим количество способов выбрать 2 белых шара из 10: \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2! \cdot (10 - 2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45. \]

4. Находим количество способов выбрать 1 черный шар из 5: \[ C(5, 1) = 5. \]

5. Общее количество способов выбрать 2 белых и 1 черный шар: \[ \text{Всего способов} = C(10, 2) \cdot C(5, 1) = 45 \cdot 5 = 225. \]

Ответ: Существует 225 способов выбрать 3 шара так, чтобы 2 были белыми, а один черным.

Если у вас будут дополнительные вопросы или задачи, не стесняйтесь обращаться!