Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу, основанную на их скалярном произведении и длинах этих векторов. Давайте разберёмся с вашим заданием шаг за шагом.
Векторы:
[ \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 6 \ 8 \end{pmatrix} ]
[ \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -14 \ -2 \end{pmatrix} ]
Шаг 1: Найдём скалярное произведение векторов
Скалярное произведение (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}) вычисляется по формуле:
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 ]
Подставляем значения:
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 \cdot (-14) + 8 \cdot (-2) ]
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -84 - 16 ]
[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = -100 ]
Шаг 2: Найдём длины векторов
Длина вектора (\mathbf{a}) вычисляется по формуле:
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} ]
[ |\mathbf{a}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ]
Длина вектора (\mathbf{b}):
[ |\mathbf{b}| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2} ]
[ |\mathbf{b}| = \sqrt{(-14)^2 + (-2)^2} = \sqrt{196 + 4} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} ]
Шаг 3: Найдём угол между векторами
Угол (\theta) между векторами можно найти, используя формулу:
[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} ]
Подставляем найденные значения:
[ \cos(\theta) = \frac{-100}{10 \cdot 10\sqrt{2}} = \frac{-100}{100\sqrt{2}} = \frac{-1}{\sqrt{2}} ]
Шаг 4: Найдём угол
Теперь найдём угол (\theta):
[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{-1}{\sqrt{2}}\right) ]
Значение (\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})) соответствует углу 135°.
Ответ
Угол между векторами (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) равен 135°.
