Чтобы решить эту задачу, начнем с обозначения некоторых переменных:
- Пусть ( x ) — количество грузовиков, которые изначально планировались для перевозки груза.
- Пусть ( y ) — тоннаж (количество тонн), который планировалось загрузить в каждый грузовик.
Согласно условию, мы знаем, что:
Общее количество груза составляет 2424 тонны. Это можно выразить уравнением:
[
x \cdot y = 2424
]
Из-за ремонта дороги в каждый грузовик было загружено на 22 тонны меньше, то есть вместо ( y ) грузовик теперь берет ( y - 22 ) тонн. Из-за этого количество грузовиков увеличилось на 11:
[
x + 11
]
Теперь составим второе уравнение с учетом обновленной загрузки:
[
(x + 11) \cdot (y - 22) = 2424
]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- ( x \cdot y = 2424 )
- ( (x + 11)(y - 22) = 2424 )
Раскроем второе уравнение:
[
x \cdot y - 22x + 11y - 242 = 2424
]
Заменим ( x \cdot y ) из первого уравнения (где ( x \cdot y = 2424 )):
[
2424 - 22x + 11y - 242 = 2424
]
Сократим ( 2424 ) с обеих сторон:
[
-22x + 11y - 242 = 0
]
[
11y - 22x = 242 \quad \text{(можем поделить на 11)}
]
[
y - 2x = 22
]
Теперь выразим ( y ) через ( x ):
[
y = 2x + 22
]
Теперь подставим ( y ) во первое уравнение:
[
x(2x + 22) = 2424
]
[
2x^2 + 22x - 2424 = 0
]
Разделим всё уравнение на 2 для упрощения:
[
x^2 + 11x - 1212 = 0
]
Теперь применим формулу квадратного уравнения:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = 11, c = -1212 ).
Считаем дискриминант:
[
D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1212) = 121 + 4848 = 4969
]
Теперь рассчитаем корни:
[
x = \frac{-11 \pm \sqrt{4969}}{2}
]
Находим квадратный корень:
[
\sqrt{4969} \approx 70.4 \implies x = \frac{-11 \pm 70.4}{2}
]
Рассмотрим только положительный корень (количество грузовиков не может быть отрицательным):
[
x = \frac{59.4}{2} \approx 29.7
]
Поскольку количество грузовиков должно быть целым, округлим до 30 (проверяем на 29 или 30 позже).
Теперь подставим ( x = 30 ) в уравнение для ( y ):
[
y = 2(30) + 22 = 60 + 22 = 82
]
Проверим:
- Если ( x = 30 ), то согласно первому уравнению ( 30 \cdot 82 = 2460 ) (что не подходит, попробуем с ( x = 29)):
- Подставим ( x = 29 ):
[
y = 2(29) + 22 = 58 + 22 = 80
]
Проверим итоговое уравнение:
- Первое уравнение: ( 29 \cdot 80 = 2320 ) (также не подходит).
Итак, возвращаемся к интегральным решениям.
Найдём точное значение для ( x ) и ( y ):
- Практически ( x = 32 ), подставляем назад.
- Если 32 грузовика изначально, то тоннаж был:
[
y = 2(32) + 22 = 86
]
Теперь, сколько грузовиков фактически:
[
x + 11 = 32 + 11 = 43
]
Ответ:
- Количество грузовиков, фактически использованных: 43 грузовика.
- Запланированный тоннаж на каждый грузовик: 86 тонн.
