2-2/5+2/25+2/125…қосындны тап

Задача состоит в том, чтобы найти сумму последовательности, которая выглядит как:

\[ 2 - \frac{2}{5} + \frac{2}{25} - \frac{2}{125} + \ldots \]

Эта последовательность представляет собой бесконечную числовую последовательность, и чтобы её решить, сначала давайте проанализируем, какие члены в ней участвуют.

Шаг 1: Определение общего члена последовательности

Сначала мы заметим, что во всех членах присутствует множитель 2. Следовательно, можно вынести 2 за скобки:

\[ S = 2 \left( 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{125} + \ldots \right) \]

Теперь внутри скобок у нас наблюдается геометрическая прогрессия.

Шаг 2: Определение параметров геометрической прогрессии

В данной геометрической прогрессии:

• Первый член \( a = 1 \)
• Общая дробь (коэффициент) \( r = -\frac{1}{5} \)

Шаг 3: Формула суммы геометрической прогрессии

Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a}{1 - r} \]

где \( |r| < 1 \).

Шаг 4: Подставим известные значения

В нашем случае:

\[ S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} \]

Шаг 5: Возвращаемся к нашей общей сумме

Теперь подставим \( S \) обратно в нашу исходную формулу:

\[ S_{total} = 2 \left( \frac{5}{6} \right) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \]

Итог

Таким образом, сумма последовательности:

\[ 2 - \frac{2}{5} + \frac{2}{25} - \frac{2}{125} + \ldots = \frac{5}{3} \]

Это и есть ответ на вашу задачу!