2-2/5+2/25+2/125…қосындны тап

Задача состоит в том, чтобы найти сумму последовательности, которая выглядит как: \[ 2 - \frac{2}{5} + \frac{2}{25} - \frac{2}{125} + \ldots \] Эта последовательность представляет собой бесконечную числовую последовательность, и чтобы её решить, сначала давайте проанализируем, какие члены в ней участвуют. ### Шаг 1: Определение общего члена последовательности Сначала мы заметим, что во всех членах присутствует множитель 2. Следовательно, можно вынести 2 за скобки: \[ S = 2 \left( 1 - \frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{125} + \ldots \right) \] Теперь внутри скобок у нас наблюдается геометрическая прогрессия. ### Шаг 2: Определение параметров геометрической прогрессии В данной геометрической прогрессии: - Первый член \( a = 1 \) - Общая дробь (коэффициент) \( r = -\frac{1}{5} \) ### Шаг 3: Формула суммы геометрической прогрессии Сумма бесконечной геометрической прогрессии вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a}{1 - r} \] где \( |r| < 1 \). ### Шаг 4: Подставим известные значения В нашем случае: \[ S = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{1}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{1}{\frac{6}{5}} = \frac{5}{6} \] ### Шаг 5: Возвращаемся к нашей общей сумме Теперь подставим \( S \) обратно в нашу исходную формулу: \[ S_{total} = 2 \left( \frac{5}{6} \right) = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \] ### Итог Таким образом, сумма последовательности: \[ 2 - \frac{2}{5} + \frac{2}{25} - \frac{2}{125} + \ldots = \frac{5}{3} \] Это и есть ответ на вашу задачу!