Сравните числа

Давайте разберём каждое задание отдельно. ### а) \( 3^{\log_3 4} \) и \( \log_3 18 \) 1. **Упростим первое выражение:** \( 3^{\log_3 4} \) преобразуется через свойства логарифма. По свойству: \( a^{\log_a b} = b \), следовательно: \[ 3^{\log_3 4} = 4 \] 2. **Вычислим второе выражение:** \( \log_3 18 \) можно выразить как: \[ \log_3 18 = \log_3 (3 \times 6) = \log_3 3 + \log_3 6 = 1 + \log_3 6 \] Оценим \( \log_3 6 \): \[ \log_3 6 \approx \log_3 (3^1 \times 2) = 1 + \log_3 2 \] Отсюда: \[ \log_3 6 > 1 \] Исходя из этого, \( \log_3 18 > 2 \). 3. **Сравним выражения:** \( 4 < 9 \), а так как \( \log_3 18 > 2 \), следовательно: \[ 4 < \log_3 18 \] ### б) \( 18^{100} \) и \( 5^{150} \) Для сравнения можно воспользоваться логарифмами: 1. **Вычисляем логарифмы:** \[ \log(18^{100}) = 100 \cdot \log 18 \] \[ \log(5^{150}) = 150 \cdot \log 5 \] 2. **Сравним логарифмические значения:** Нам потребуется соотношение \( \frac{\log 18}{\log 5} \). Давайте упростим его: \[ \log 18 = \log(2 \cdot 3^2) = \log 2 + 2\log 3 \] Примерные значения: \( \log 2 \approx 0.3 \), \( \log 3 \approx 0.477 \). \[ \log 18 \approx 0.3 + 2 \times 0.477 = 1.254 \] \[ \log 5 \approx 0.699 \] Сравним: \[ \frac{100 \times 1.254}{150 \times 0.699} \approx \frac{125.4}{104.85} \approx 1.2 > 1 \] Это означает, что: \[ 18^{100} > 5^{150} \] Таким образом, для задания (а) \( 4 < \log_3 18 \), а для задания (б) \( 18^{100} > 5^{150} \).