5!

Давайте рассмотрим задачу о нахождении корня уравнения:

\[ \left(\frac{1}{8}\right)^x = 512 \]

Для начала упростим уравнение, представив числа в виде степеней.

1. Заметим, что \( \frac{1}{8} \) можно переписать как \( 8^{-1} \). По определению степени: \[ \left(8^{-1}\right)^x = 8^{-x} \]

2. Число 512 можно представить как степень числа 8. Рассчитаем: \[ 8^1 = 8, \quad 8^2 = 64, \quad 8^3 = 512 \] Следовательно, \( 512 = 8^3 \).

Теперь подставим эти степени в уравнение:

\[ 8^{-x} = 8^3 \]

Так как основания степени равны, то приравниваем показатели:

\[ -x = 3 \]

Решим это уравнение для \( x \):

\[ x = -3 \]

Таким образом, решением уравнения является:

\[ x = -3 \]