Один из углов прямоугольного треугольника равен 60° а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4см.Найдите гипотенузу треугольника
Для решения данной задачи начнем с обозначения величин и использования свойств прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
Обозначим:
- \( a \) — меньший катет;
- \( b \) — больший катет;
- \( c \) — гипотенуза.
Согласно условию, один из углов треугольника составляет \( 60^\circ \). Это значит, что меньший катет \( a \) — это тот, который противолежит углу \( 60^\circ \).
Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения
В прямоугольном треугольнике с углом \( 60^\circ \):
- Синус \( \angle 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
- Косинус \( \angle 60^\circ = \frac{1}{2} \)
Из этих соотношений мы можем выразить стороны:
- Меньший катет \( a \) будет равен \( c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
- Больший катет \( b \) будет равен \( c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} \).
Шаг 3: Запишем уравнение исходя из задачи
По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см: \[ c + a = 26.4 \]
Подставим выражение для \( a \): \[ c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26.4 \]
Шаг 4: Упростим уравнение
Соберем все слагаемые с \( c \): \[ c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26.4 \]
Теперь посчитаем \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \]
Теперь у нас есть: \[ c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26.4 \]
Шаг 5: Найдем \( c \)
Умножаем обе стороны уравнения на 2: \[ c(2 + \sqrt{3}) = 52.8 \]
Теперь разделим обе стороны на \( 2 + \sqrt{3} \): \[ c = \frac{52.8}{2 + \sqrt{3}} \]
Шаг 6: Приблизительная оценка
Чтобы оценить значение гипотенузы, подставим приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \): \[ 2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732 \] Тогда: \[ c \approx \frac{52.8}{3.732} \approx 14.15 \text{ см} \]
Ответ
Гипотенуза треугольника составляет примерно 14.15 см.
