Для решения данной задачи начнем с обозначения величин и использования свойств прямоугольного треугольника.
Шаг 1: Обозначим стороны треугольника
Обозначим:
- ( a ) — меньший катет;
- ( b ) — больший катет;
- ( c ) — гипотенуза.
Согласно условию, один из углов треугольника составляет ( 60^\circ ). Это значит, что меньший катет ( a ) — это тот, который противолежит углу ( 60^\circ ).
Шаг 2: Используем тригонометрические соотношения
В прямоугольном треугольнике с углом ( 60^\circ ):
- Синус ( \angle 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )
- Косинус ( \angle 60^\circ = \frac{1}{2} )
Из этих соотношений мы можем выразить стороны:
- Меньший катет ( a ) будет равен ( c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ).
- Больший катет ( b ) будет равен ( c \cdot \cos(60^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} ).
Шаг 3: Запишем уравнение исходя из задачи
По условию задачи сумма гипотенузы и меньшего катета равна 26,4 см:
[
c + a = 26.4
]
Подставим выражение для ( a ):
[
c + c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 26.4
]
Шаг 4: Упростим уравнение
Соберем все слагаемые с ( c ):
[
c \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 26.4
]
Теперь посчитаем ( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} ):
[
1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}
]
Теперь у нас есть:
[
c \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = 26.4
]
Шаг 5: Найдем ( c )
Умножаем обе стороны уравнения на 2:
[
c(2 + \sqrt{3}) = 52.8
]
Теперь разделим обе стороны на ( 2 + \sqrt{3} ):
[
c = \frac{52.8}{2 + \sqrt{3}}
]
Шаг 6: Приблизительная оценка
Чтобы оценить значение гипотенузы, подставим приближенное значение ( \sqrt{3} \approx 1.732 ):
[
2 + \sqrt{3} \approx 2 + 1.732 = 3.732
]
Тогда:
[
c \approx \frac{52.8}{3.732} \approx 14.15 \text{ см}
]
Ответ
Гипотенуза треугольника составляет примерно 14.15 см.
