Объём конуса равен 375. Через точку, де лящую высоту конуса в отношении 1:4, считая от вершины, проведена плоскость, параллель ная основанию. Найдите объём копуса, отсека емого от…

Давайте решим задачу с конусом, объём которого равен 375. Нам нужно найти объём сечённого конуса, который образуется, когда плоскость, параллельная основанию, проходит через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4.

Шаг 1: Понимание задачи

Объём конуса вычисляется по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] где \(V\) — объём, \(r\) — радиус основания, и \(h\) — высота конуса.

Из условия знаем, что объём конуса \(V = 375\).

Шаг 2: Делим высоту

Высоту конуса разделим на части в отношении 1:4. Обозначим высоту конуса как \(h\). Тогда:

• Вершина конуса до плоскости (малый конус) составляет \( \frac{h}{5} \) (1 часть).
• От плоскости до основания конуса (большой конус) составляет \( \frac{4h}{5} \) (4 части).

Шаг 3: Определение объёма сечённого конуса

Когда плоскость сечёт конус, она создаёт меньший конус (верхнюю часть) с высотой \( \frac{h}{5} \). Объём этого маленького конуса рассчитывается так же, как и для большого конуса, но нужно помнить, что радиус будет пропорционально уменьшен.

Геометрически, если высота уменьшается в 5 раз, радиус тоже уменьшается в 5 раз: \[ r_{\text{мал}} = \frac{r}{5} \] Для объёма меньшего конуса используем ту же формулу: \[ V_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi (r_{\text{мал}})^2 h_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{5}\right)^2 \left(\frac{h}{5}\right) \] Подставим: \[ V_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{25}\right) \left(\frac{h}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi r^2 h}{125} \] Поэтому: \[ V_{\text{мал}} = \frac{V}{125} \]

Шаг 4: Находим объём большого конуса

Теперь подставим \(V = 375\): \[ V_{\text{мал}} = \frac{375}{125} = 3 \]

Шаг 5: Находим объём отсечённого конуса

Теперь, чтобы найти объём конуса, отсекаемого плоскостью, вычтем объём меньшего конуса из объёма большого: \[ V_{\text{отсеч}} = V - V_{\text{мал}} = 375 - 3 = 372 \]

Заключение

Объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 372.