Давайте решим задачу с конусом, объём которого равен 375. Нам нужно найти объём сечённого конуса, который образуется, когда плоскость, параллельная основанию, проходит через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:4.
Шаг 1: Понимание задачи
Объём конуса вычисляется по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
]
где (V) — объём, (r) — радиус основания, и (h) — высота конуса.
Из условия знаем, что объём конуса (V = 375).
Шаг 2: Делим высоту
Высоту конуса разделим на части в отношении 1:4. Обозначим высоту конуса как (h). Тогда:
- Вершина конуса до плоскости (малый конус) составляет ( \frac{h}{5} ) (1 часть).
- От плоскости до основания конуса (большой конус) составляет ( \frac{4h}{5} ) (4 части).
Шаг 3: Определение объёма сечённого конуса
Когда плоскость сечёт конус, она создаёт меньший конус (верхнюю часть) с высотой ( \frac{h}{5} ). Объём этого маленького конуса рассчитывается так же, как и для большого конуса, но нужно помнить, что радиус будет пропорционально уменьшен.
Геометрически, если высота уменьшается в 5 раз, радиус тоже уменьшается в 5 раз:
[
r_{\text{мал}} = \frac{r}{5}
]
Для объёма меньшего конуса используем ту же формулу:
[
V_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi (r_{\text{мал}})^2 h_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r}{5}\right)^2 \left(\frac{h}{5}\right)
]
Подставим:
[
V_{\text{мал}} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{r^2}{25}\right) \left(\frac{h}{5}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\pi r^2 h}{125}
]
Поэтому:
[
V_{\text{мал}} = \frac{V}{125}
]
Шаг 4: Находим объём большого конуса
Теперь подставим (V = 375):
[
V_{\text{мал}} = \frac{375}{125} = 3
]
Шаг 5: Находим объём отсечённого конуса
Теперь, чтобы найти объём конуса, отсекаемого плоскостью, вычтем объём меньшего конуса из объёма большого:
[
V_{\text{отсеч}} = V - V_{\text{мал}} = 375 - 3 = 372
]
Заключение
Объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 372.
