в водный раствор соли добавили 100гр воды. в результате концентрации соли в растворе понизилась на 1%. определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем…
В водный раствор соли добавили 100гр воды. в результате концентрации соли в растворе понизилась на 1%. определите первоначальную массу раствора, если известно, что в нем содержалось 30гр соли. оформить задачу в таблицу
Чтобы решить задачу, начнем с формулировки и разбора условий.
Дано:
- Начальная масса соли \( m_{\text{соли}} = 30 \) г.
- Добавлено 100 г воды.
- Концентрация соли снизилась на 1%.
Необходимо определить первоначальную массу раствора \( m_{\text{раствора}} \).
Решение:
Определение первоначальной концентрации: Концентрация соли в растворе определяется как отношение массы соли к массе раствора (сумме массы соли и массы воды).
Обозначим первоначальную массу раствора через \( x \). Тогда первоначальная концентрация соли \( C_1 \) в процентах будет:
\[ C_1 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}} \times 100 = \frac{30}{x} \times 100 \]
Новая масса раствора: После добавления 100 г воды масса раствора станет:
\[ m_{\text{раствора}}' = x + 100 \]
Новая концентрация: Концентрация соли после добавления воды \( C_2 \) будет:
\[ C_2 = \frac{m_{\text{соли}}}{m_{\text{раствора}}'} \times 100 = \frac{30}{x + 100} \times 100 \]
Согласно условию задачи: Мы знаем, что новая концентрация понизилась на 1%, то есть:
\[ C_2 = C_1 - 1 \]
Подставляя выражения для концентраций, получаем:
\[ \frac{30}{x + 100} \times 100 = \left(\frac{30}{x} \times 100\right) - 1 \]
Упрощение уравнения: Умножим обе стороны на \( (x)(x + 100) \):
\[ 30 \cdot x = 30 \cdot (x + 100) - x(x + 100) \]
Раскроем скобки:
\[ 30x = 30x + 3000 - x^2 - 100x \]
Переносим все на одну сторону:
\[ 0 = 3000 - x^2 - 70x \]
Переписываем уравнение:
\[ x^2 + 70x - 3000 = 0 \]
Решение квадратного уравнения: Используя дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 70^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3000) = 4900 + 12000 = 16900 \]
Находим корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-70 \pm 130}{2} \]
Это дает два решения:
\[ x_1 = \frac{60}{2} = 30 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-200}{2} = -100 \]
Отрицательное значение не имеет смысла в контексте задачи, следовательно:
\[ x = 30 \text{ г (первоначальная масса раствора)} \]
Оформление в таблицу:
| Параметр | Значение |
|---|---|
| Масса соли | 30 г |
| Концентрация до добавления | C1 = \( \frac{30}{x} \cdot 100 \) |
| Масса воды добавленная | 100 г |
| Масса раствора после добавления | \( x + 100 \) |
| Концентрация после добавления | C2 = \( \frac{30}{x + 100} \cdot 100 \) |
| Изменение концентрации | -1% |
| Первоначальная масса раствора | 300 г |
Таким образом, первоначальная масса раствора составляет 300 г.
