Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5 ». Составь таблицу случайного эксперимента…
Игральный кубик бросили два раза. Событие A A — «при втором броске выпало меньше очков», событие B B — «сумма выпавших очков больше 5 5». Составь таблицу случайного эксперимента и найди P ( A ∩ B ) P(A∩B).
Для решения задачи рассмотрим случайный эксперимент: бросание игрального кубика два раза. Мы будем искать вероятность совместного события \( P(A \cap B) \), где \( A \) — событие, что при втором броске выпало меньше очков, и \( B \) — событие, что сумма выпавших очков больше 5.
Шаг 1: Составление таблицы случайного эксперимента
Сначала выполним броски кубика. Результаты первого и второго броска могут быть от 1 до 6. Поэтому мы можем представить все возможные исходы в виде таблицы.
| Первый бросок (X) | Второй бросок (Y) | Сумма (X + Y) |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 1 | 2 | 3 |
| 1 | 3 | 4 |
| 1 | 4 | 5 |
| 1 | 5 | 6 |
| 1 | 6 | 7 |
| 2 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 5 |
| 2 | 4 | 6 |
| 2 | 5 | 7 |
| 2 | 6 | 8 |
| 3 | 1 | 4 |
| 3 | 2 | 5 |
| 3 | 3 | 6 |
| 3 | 4 | 7 |
| 3 | 5 | 8 |
| 3 | 6 | 9 |
| 4 | 1 | 5 |
| 4 | 2 | 6 |
| 4 | 3 | 7 |
| 4 | 4 | 8 |
| 4 | 5 | 9 |
| 4 | 6 | 10 |
| 5 | 1 | 6 |
| 5 | 2 | 7 |
| 5 | 3 | 8 |
| 5 | 4 | 9 |
| 5 | 5 | 10 |
| 5 | 6 | 11 |
| 6 | 1 | 7 |
| 6 | 2 | 8 |
| 6 | 3 | 9 |
| 6 | 4 | 10 |
| 6 | 5 | 11 |
| 6 | 6 | 12 |
В этой таблице представлены все возможные 36 исходов бросков двух кубиков.
Шаг 2: Определение событий \( A \) и \( B \)
Событие \( A \): «при втором броске выпало меньше очков». Это означает, что \( Y < X \). Возможные комбинации:
- Если \( X = 2 \): \( Y = 1 \) → (2, 1)
- Если \( X = 3 \): \( Y = 1, 2 \) → (3, 1), (3, 2)
- Если \( X = 4 \): \( Y = 1, 2, 3 \) → (4, 1), (4, 2), (4, 3)
- Если \( X = 5 \): \( Y = 1, 2, 3, 4 \) → (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
- Если \( X = 6 \): \( Y = 1, 2, 3, 4, 5 \) → (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
В итоге, события \( A \) имеют следующие исходы:
- (2, 1)
- (3, 1), (3, 2)
- (4, 1), (4, 2), (4, 3)
- (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
- (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5)
Всего 10 благоприятных исходов.
Событие \( B \): «сумма выпавших очков больше 5». Это означает, что \( X + Y > 5 \). Исходы этого события:
- Сумма 6: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
- Сумма 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
- Сумма 8: (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)
- Сумма 9: (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)
- Сумма 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4)
- Сумма 11: (5, 6), (6, 5)
- Сумма 12: (6, 6)
В итоге \( B \) имеет следующие 21 благоприятный исход.
Шаг 3: Определение совместного события \( A \cap B \)
Теперь найдем благоприятные исходы для \( A \cap B \) (исходы, которые удовлетворяют обоим событиям):
- (3, 3) — не подходит
- (5, 1) — подходит
- (6, 1) — подходит
- (6, 2) — подходит
- (5, 2) — подходит
- (5, 3) — подходит
- (5, 4) — подходит
- (4, 2) — подходит
- (4, 3) — подходит
- (3, 2) — подходит
- (3, 1) — подходит, но сумма не больше 5
- (2, 1) — подходит
Итак, благоприятные исходы для события \( A \cap B \):
- (5, 2)
- (5, 3)
- (5, 4)
- (6, 1)
- (6, 2)
Всего 6 благоприятных исходов.
Шаг 4: Нахождение вероятности \( P(A \cap B) \)
Согласно определению вероятности:
\[ P(A \cap B) = \frac{\text{число благоприятных исходов (A \cap B)}}{\text{общее число исходов}} \]
Общее число исходов = 36, число благоприятных исходов \( A \cap B = 6 \).
Следовательно:
\[ P(A \cap B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Ответ
Таким образом, вероятность совместного события \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \).
