y = \left( 1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)^3 \) найти производную

Чтобы найти производную функции \( y = \left( 1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \right)^3 \), мы будем использовать правило цепной производной и правила для производных сложных функций. Давайте разберем решение шаг за шагом.

Шаг 1: Обозначим внутреннюю функцию

Сначала мы обозначим внутреннюю функцию: \[ u = 1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \] Тогда наше выражение для \( y \) можно переписать как \( y = u^3 \).

Шаг 2: Находим производную \( y \) по \( u \)

Используя правило производной для степени, мы имеем: \[ \frac{dy}{du} = 3u^2 \]

Шаг 3: Найдем производную \( u \) по \( x \)

Теперь находим производную \( u \) по \( x \). Для этого мы используем правило производной для суммы и производной корня: \[ u = 1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \] Для нахождения производной \( u \) сначала найдем производную выражения под корнем: \[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right) \]

Этот шаг можно упростить с помощью правила производной для дробей и правила производной корня. Используем правило производной: \[ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{v}\right) = \frac{1}{2\sqrt{v}} \cdot \frac{dv}{dx} \] где \( v = \frac{1+x}{1-x} \).

Теперь найдем \( \frac{dv}{dx} \) для \( v = \frac{1+x}{1-x} \) с использованием правила производной для дробей: \[ v' = \frac{(1-x)(1) - (1+x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{(1-x) + (1+x)}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2} \]

Теперь подставляем обратно в формулу для производной корня: \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} \cdot \frac{1}{(1-x)^2} \]

Мы можем упростить это выражение: \[ \frac{du}{dx} = \frac{(1-x)^2}{(1+x)^{1/2} \cdot (1-x)^{1/2}} = \frac{(1-x)^{3/2}}{(1+x)^{1/2}} \]

Шаг 4: Подставляем в формулу для полной производной

Теперь, используя правило цепочки, обходимся следующим образом: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 3u^2 \cdot \frac{(1-x)^{3/2}}{(1+x)^{1/2}} \]

Шаг 5: Подставляем обратно определение \( u \)

Подставим \( u = 1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} \): \[ \frac{dy}{dx} = 3 \left(1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)^2 \cdot \frac{(1-x)^{3/2}}{(1+x)^{1/2}} \]

Итог

Таким образом, производная функции \( y \) равна: \[ \frac{dy}{dx} = 3 \left(1 + \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)^2 \cdot \frac{(1-x)^{3/2}}{(1+x)^{1/2}} \]

Это полное решение задачи! Если у вас остались вопросы или требуется более глубокое объяснение какого-либо шага, не стесняйтесь спрашивать!