Для того чтобы определить количество точек пересечения параболы (y = x^2 + 18x + 69) и прямой (23x - 2y = 0), начнем с формулировки задачи.
Шаг 1: Приведение уравнения прямой к стандартному виду
Решим уравнение прямой (23x - 2y = 0) для (y):
[
2y = 23x \implies y = \frac{23}{2}x
]
Шаг 2: Подстановка уравнения прямой в уравнение параболы
Теперь подставим (y = \frac{23}{2}x) в уравнение параболы (y = x^2 + 18x + 69):
[
\frac{23}{2}x = x^2 + 18x + 69
]
Шаг 3: Приведем уравнение к стандартному виду
Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
23x = 2(x^2 + 18x + 69)
]
Раскроем скобки:
[
23x = 2x^2 + 36x + 138
]
Шаг 4: Перенос всех членов в одну часть
Переносим все члены в одну сторону:
[
0 = 2x^2 + 36x + 138 - 23x
]
Соберем подобные:
[
0 = 2x^2 + 13x + 138
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Теперь у нас есть квадратное уравнение:
[
2x^2 + 13x + 138 = 0
]
Решим его с помощью дискриминанта (D):
[
D = b^2 - 4ac
]
где (a = 2), (b = 13), (c = 138).
Считаем дискриминант:
[
D = 13^2 - 4 \times 2 \times 138 = 169 - 1104 = -935
]
Шаг 6: Анализ результатов
Поскольку дискриминант (D) отрицательный ((D < 0)), это означает, что у квадратного уравнения нет действительных корней.
Заключение
Таким образом, парабола (y = x^2 + 18x + 69) и прямая (23x - 2y = 0) не пересекаются. Количество точек пересечения равно 0.
