При каком значении переменной d d угол между векторами m → m и n → n равен 45 ° 45° , если m → { 1 ; 4 } m {1;4} и n → { d ; 3 } n {d;3} ?

Чтобы найти значение переменной \( d \), при котором угол между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равен \( 45^\circ \), воспользуемся формулой косинуса угол между векторами.

Векторы даны: \[ \vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} d \\ 3 \end{pmatrix} \]

Шаг 1: Находим длины векторов

Длина вектора \( \vec{m} \): \[ |\vec{m}| = \sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16} = \sqrt{17} \]

Длина вектора \( \vec{n} \): \[ |\vec{n}| = \sqrt{d^2 + 3^2} = \sqrt{d^2 + 9} \]

Шаг 2: Находим скалярное произведение векторов

Скалярное произведение векторов \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \): \[ \vec{m} \cdot \vec{n} = 1 \cdot d + 4 \cdot 3 = d + 12 \]

Шаг 3: Используем формулу для косинуса угла

Косинус угла \( \theta \) между векторами определяется как: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|} \] Для угла \( 45^\circ \): \[ \cos(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Теперь подставим наши значения в формулу: \[ \frac{d + 12}{|\vec{m}||\vec{n}|} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Подставим длины векторов: \[ |\vec{m}| = \sqrt{17}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{d^2 + 9} \]

Итак, у нас есть следующая равенство: \[ \frac{d + 12}{\sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Шаг 4: Преобразуем уравнение

Перекрестное умножение даст нам: \[ (d + 12)\sqrt{2} = \sqrt{17} \cdot \sqrt{d^2 + 9} \]

Квадратим обе стороны: \[ 2(d + 12)^2 = 17(d^2 + 9) \]

Шаг 5: Раскроем скобки

Раскроем скобки с обеих сторон: \[ 2(d^2 + 24d + 144) = 17d^2 + 153 \]

Упрощаем уравнение: \[ 2d^2 + 48d + 288 = 17d^2 + 153 \]

Переносим все на одну сторону: \[ 0 = 15d^2 - 48d - 135 \]

Шаг 6: Решаем квадратное уравнение

Теперь у нас есть квадратное уравнение: \[ 15d^2 - 48d - 135 = 0 \]

Используем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-48)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-135) = 2304 + 8100 = 10404 \]

Находим корни: \[ d = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{48 \pm \sqrt{10404}}{2 \cdot 15} \] Упрощаем: \[ d = \frac{48 \pm 102}{30} \]

Это дает два возможных значения для \( d \):

1. \[ d_1 = \frac{150}{30} = 5 \] 2. \[ d_2 = \frac{-54}{30} = -1.8 \]

Шаг 7: Ответ

Значение переменной \( d \), при котором угол между векторами \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) равен \( 45^\circ \), может быть \( d = 5 \) или \( d = -1.8 \).