Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 49 м, а его гипотенуза 41 м. Найдите площадь треугольника.

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольного треугольника, когда известны сумма катетов и длина гипотенузы, будем следовать следующему алгоритму:

Шаг 1: Обозначим известные величины

Пусть:

• \( a \) и \( b \) — длины катетов,
• \( c = 41 \) м — длина гипотенузы,
• Сумма катетов: \( a + b = 49 \) м.

Шаг 2: Запишем уравнение из теоремы Пифагора

Согласно теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике выполняется следующее уравнение: \[ a^2 + b^2 = c^2. \] Подставим значение гипотенузы: \[ a^2 + b^2 = 41^2 = 1681. \]

Шаг 3: Выразим один катет через другой

Из уравнения суммы катетов можно выразить один катет через другой: \[ b = 49 - a. \]

Шаг 4: Подставим \( b \) в уравнение Пифагора

Теперь подставим выражение для \( b \) в уравнение Пифагора: \[ a^2 + (49 - a)^2 = 1681. \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (49^2 - 98a + a^2) = 1681. \] Упростим уравнение: \[ 2a^2 - 98a + 2401 = 1681. \] Теперь перенесем 1681 в левую часть: \[ 2a^2 - 98a + 720 = 0. \]

Шаг 5: Упростим квадратное уравнение

Упростим уравнение, разделив все члены на 2: \[ a^2 - 49a + 360 = 0. \]

Шаг 6: Найдем корни квадратного уравнения

Используем формулу для решения квадратного уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] где \( a = 1, b = -49, c = 360 \): \[ a = \frac{49 \pm \sqrt{(-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 360}}{2 \cdot 1} = \frac{49 \pm \sqrt{2401 - 1440}}{2} = \frac{49 \pm \sqrt{961}}{2} = \frac{49 \pm 31}{2}. \] Таким образом, находим два значения для \( a \):

1. \( a_1 = \frac{80}{2} = 40 \),
2. \( a_2 = \frac{18}{2} = 9 \).

Шаг 7: Определим длины катетов

Теперь определим соответствующие значения для катетов:

• Если \( a = 40 \), тогда \( b = 49 - 40 = 9 \).
• Если \( a = 9 \), тогда \( b = 49 - 9 = 40 \).

Шаг 8: Найдем площадь треугольника

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b. \] Подставим наши значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 9 = \frac{360}{2} = 180 \, \text{м}^2. \]

Ответ

Таким образом, площадь прямоугольного треугольника составляет \( 180 \, \text{м}^2 \).