Чтобы решить задачу, нам нужно использовать свойства подобных фигур, а именно соотношение площадей и соотношение сторон.
Шаг 1: Понять соотношение площадей
Пусть ( S_1 ) и ( S_2 ) — площади двух подобных треугольников. По условию задачи:
- ( S_1 = 25 , \text{см}^2 ) (малый треугольник)
- ( S_2 = 100 , \text{см}^2 ) (большой треугольник)
Для подобных фигур, соотношение их площадей равно квадрату отношения их сходственных сторон. То есть:
[
\frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
]
где ( a_1 ) и ( a_2 ) — соответствующие стороны данных треугольников.
Шаг 2: Находим отношение площадей
Подставим известные площади в формулу:
[
\frac{25}{100} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
]
Упрощаем:
[
\frac{1}{4} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^2
]
Теперь извлечем корень из обеих сторон:
[
\frac{1}{2} = \frac{a_1}{a_2}
]
Это означает, что стороны первого и второго треугольников находятся в отношении 1:2.
Шаг 3: Находим длину сходственной стороны
Из условия задачи нам известно, что одна из сторон первого треугольника (обозначим её ( a_1 )) равна 3 см.
Теперь найдем соответствующую сторону второго треугольника (( a_2 )):
[
a_2 = 2 \times a_1 = 2 \times 3 , \text{см} = 6 , \text{см}
]
Ответ
Таким образом, длина сходственной стороны второго треугольника равна 6 см.
