.
Для решения этой задачи с векторами в параллелограмме рассмотрим изображение и используем свойства, характерные для векторов и параллелограммов.
Дано:
Параллелограмм \(ABCD\) с серединными точками \(L\) и \(M\) сторон \(AB\) и \(CD\) соответственно. Требуется найти числа, на которые нужно умножить векторы, чтобы получились равные пары векторов.
Шаги решения:
Анализ параллелограмма:
- В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Это значит, что \( \vec{AB} = \vec{DC} \) и \( \vec{AD} = \vec{BC} \).
Исследование срединных точек:
- Средняя линия параллелограмма, соединяющая середины двух противоположных сторон, равна половине суммы этих двух сторон и параллельна третьей стороне.
- Для середин \(L\) и \(M\) справедливо: \[ \vec{LM} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{CD}) = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{AB}) = \vec{0} \] Вектор равен нулевому вектору, так как \(\vec{AB} = \vec{DC}\).
Первое уравнение: \( \vec{DC} = x \cdot \vec{BA} \):
Вектор \(\vec{BA}\) равен \(-\vec{AB}\). Следовательно: \[ \vec{DC} = x \cdot (-\vec{AB}) \rightarrow \vec{AB} = -x \vec{AB} \rightarrow x = -1 \] То есть, чтобы векторы были равны, надо \(x = -1\).
Второе уравнение: \(\vec{BA} = x \cdot \vec{BK}\):
\(\vec{BK}\) – это вектор, соединяющий точки \(B\) и \(K\), где \(K\) – середина вектора \(\vec{BC}\). \[ \vec{BK} = \frac{1}{2} \vec{BC} \] Требуется: \[ -\vec{AB} = x \cdot \frac{1}{2}\vec{BC} \rightarrow -2\vec{AB} = x \vec{BC} \] Так как \(\vec{AB} = -\vec{BC}\), то: \[ -2 (-\vec{BC}) = x \vec{BC} \rightarrow 2 \vec{BC} = x \vec{BC} \rightarrow x = 2 \]
Ответ:
- Для уравнения \( \vec{DC} = x \cdot \vec{BA} \) число \( x = -1 \).
- Для уравнения \( \vec{BA} = x \cdot \vec{BK} \) число \( x = 2 \).
