найти площадь фигуры ограниченной осью ОХ и параболой y=-x^2+4x-3
Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой \(y = -x^2 + 4x - 3\), нам нужно выполнить следующие шаги:
Шаг 1: Найдем корни параболы
Для начала мы можем найти точки пересечения параболы с осью ОХ. Для этого приравняем уравнение параболы к нулю:
\[ -y = -x^2 + 4x - 3 = 0 \]
Перепишем уравнение:
\[ x^2 - 4x + 3 = 0 \]
Используем формулу решения квадратного уравнения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\):
\[ b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2}{2} \]
Это даст нам два корня:
\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 2: Определим пределы интегрирования
Теперь, когда мы знаем корни, точки пересечения параболы с осью ОХ - это \(x = 1\) и \(x = 3\). Эти значения будут нашими пределами интегрирования.
Шаг 3: Найдем площадь под параболой
Площадь фигуры, ограниченной параболой и осью ОХ, можно найти как интеграл от функции:
\[ S = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) \, dx \]
Шаг 4: Вычислим интеграл
Посчитаем интеграл:
\[ S = \int (-x^2 + 4x - 3) \, dx = \left[-\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x\right]_{1}^{3} \]
Теперь вычислим это выражение:
- Находим значение интеграла в верхнем пределе (x=3):
\[ -\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 = -\frac{27}{3} + 2 \cdot 9 - 9 = -9 + 18 - 9 = 0 \]
- Находим значение интеграла в нижнем пределе (x=1):
\[ -\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} + 2 - 3 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3} \]
Шаг 5: Подставим значения в общую формулу
Теперь подставим значения в формулу для площади:
\[ S = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3} \]
Ответ
Площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой \(y = -x^2 + 4x - 3\), равна \(\frac{4}{3}\) квадратных единиц.
